a) Mostre que para a propagação de uma onda em uma corda a energia cinética por unidade de comprimento da mola é dada por

Onde é a densidade linear.

b) Calcule para uma onda senoidal dada pela Equação (15.7).

c) Existe também energia potencial elástica armazenada na corda associada ao trabalho realizado para esticar e deformar a corda. Considere um pequeno segmento da corda no ponto que possui um comprimento sem deformação igual a , como indicado na Figura 15.13. Desprezando a (pequena) curvatura do segmento, sua inclinação é dada por . Suponha que o deslocamento da corda a partir da posição de equilíbrio seja pequeno, de modo que possui módulo muito menor do que um. Mostre que o comprimento não deformado do segmento é dado aproximadamente por

(Sugestão: use a relação , válida para ).

d) A energia potencial armazenada no segmento é igual ao trabalho realizado pela tensão da corda F ( que atua ao longo da corda) para esticar o segmento desde seu comprimento sem deformação até o comprimento calculado no item (c). Calcule esse trabalho realizado e mostre que a energia potencial por unidade de comprimento da corda é dada por

e) Calcule para uma onda senoidal dada pela Equação (15.7).

f) Mostre que para todos os valores de e de .

g) Faça gráficos de , e em função de para usando os mesmos eixos para as três curvas. Explique por que e assumem alores máximos quando por igual a zero e vice-versa.

h) Mostre que a potência instantânea da onda, dada pela Equação (15.22), é igual a energia total por unidade de comprimento multiplicada pela velocidade da onda . Explique por que esse resultado é razoável.

b) A Equação 15.7 é:

Para calcular a energia cinética para esta onda vamos primeiro calcular a derivada da posição em função do tempo:

Calculando a energia cinética:

c) Vamos considerar um pedaço da corda com largura e altura . Então para encontrar o comprimento calculamos o módulo da largura e da altura:

Utilizando a aproximação , temos:

d) Para calcular façamos:

e) A Equação 15.7 é:

Para calcular a energia potencial para esta onda vamos primeiro calcular a derivada da posição em função da posição:

Calculando a energia potencial:

f) Temos que ou também podemos escrever .

Mas , então:

Substituindo na energia potencial:

Portanto se olharmos o item (c) veremos que:

g) Gráfico contendo , e :

h) Queremos chegar na equação da potência, para isso vamos pegar a energia total por unidade de comprimento multiplicado pela velocidade da onda.

Esse resultado é razoável pois a densidade de energia viaja com a onda, e a taxa na qual a energia é transportada é o produto da densidade por unidade de comprumento e velocidade, que é justamente o que fizemos para encontrar a potencia.