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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 24.Exercícios e Problemas - Ex. 8

Calcule a divergência do campo complexo

vec E (x , y , z) = (vec E_0)/(r) e^(i vec k * vec r)

Passo 1

Para resolver esse problema vamos usar a identidade demonstrado no problema 24.6:

grad * (f vec V) = f grad * vec V + vec V * grad f

Vamos chamar

f = (e^(i vec k * vec r))/(r) e vec V = vec E_0

Como vec V = vec E_0 é uma constante, o termo grad * vec V = 0 , de modo que

grad * vec E = vec E_0 * grad ((e^(i vec k * vec r))/(r))

Passo 2

Vamos recorrer agora a regra da cadeia para o gradiente:

grad (f g) = f grad g + g grad f

Assim,

grad * vec E = vec E_0 * ((1)/(r) grad (e^(i vec k * vec r)) + e^(i vec k * vec r) grad ((1)/(r)))

No problema 24.5 nós achamos que

grad (e^(i vec k * vec r)) = i vec k e^(i vec k * vec r)

Podemos calcular o outro gradiente:

grad ((1)/(r)) = (d)/(d r) ((1)/(r)) hat r = - (1)/(r^2) hat r

Portanto,

grad * vec E = vec E_0 * (i vec k (e^(i vec k * vec r))/(r) - (1)/(r^2) hat r e^(i vec k * vec r))

Ou ainda,

grad * vec E = (e^(i vec k * vec r))/(r) vec E_0 * (i vec k - (hat r)/(r))

Com isso fechamos o problema 😉.

Resposta

grad * vec E = (e^(i vec k * vec r))/(r) vec E_0 * (i vec k - (hat r)/(r))

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