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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 24.Exercícios e Problemas - Ex. 7

Mostre que

grad xx (grad xx vec u) = grad (grad * vec u) - ((del^2 vec u)/(del x^2) + (del^2 vec u)/(del y^2) + (del^2 vec u)/(del z^2))

Passo 1

Primeiro vai uma correção: o enunciado escreveu

grad xx (grad xx vec u) = grad (grad * vec u) - ((del^2 u_x)/(del x^2) + (del^2 u_y)/(del y^2) + (del^2 u_z)/(del z^2))

Mas repare que isso não faz sentido pois o termo em parêntesis não é um vetor, enquanto o termo da esquerda é um vetor. A expressão correta que queremos mostrar é

grad xx (grad xx vec u) = grad (grad * vec u) - ((del^2 vec u)/(del x^2) + (del^2 vec u)/(del y^2) + (del^2 vec u)/(del z^2))

Para provar isso vamos usar coordenadas cartesianas:

grad xx vec u = |[[hat i,hat j,hat k],[del_x,del_y,del_z],[u_x,u_y,u_z]]|

Assim,

grad xx vec u = ((del u_z)/(del y) - (del u_y)/(del z)) hat i + ((del u_x)/(del z) - (del u_z)/(del x)) hat j + ((del u_y)/(del x) - (del u_x)/(del y)) hat k

Passo 2

Agora temos que calcular o rotacional disso:

grad xx (grad xx vec u) = |[[hat i,hat j,hat k],[del_x,del_y,del_z],[(del u_z)/(del y),-,(del u_y)/(del z),(del u_x)/(del z),-,(del u_z)/(del x),(del u_y)/(del x),-,(del u_x)/(del y)]]|

As coisas vão ficar um pouco feias agora...

Fazendo as contas, achamos:

grad xx (grad xx vec u) = ((del)/(del y) ((del u_y)/(del x) - (del u_x)/(del y)) - (del)/(del z) ((del u_x)/(del z) - (del u_z)/(del x))) hat i + ((del)/(del z) ((del u_z)/(del y) - (del u_y)/(del z)) - (del)/(del x) ((del u_y)/(del x) - (del u_x)/(del y))) hat j + ((del)/(del x) ((del u_x)/(del z) - (del u_z)/(del x)) - (del)/(del y) ((del u_z)/(del y) - (del u_y)/(del z))) hat k

Passo 3

Agora que já abrimos o lado esquerdo, vamos abrir o lado direito:

grad (grad * vec u) = grad ((del u_x)/(del x) + (del u_y)/(del y) + (del u_z)/(del z))

Daí,

grad (grad * vec u) = (del)/(del x) ((del u_x)/(del x) + (del u_y)/(del y) + (del u_z)/(del z)) hat i + (del)/(del y) ((del u_x)/(del x) + (del u_y)/(del y) + (del u_z)/(del z)) hat j + (del)/(del z) ((del u_x)/(del x) + (del u_y)/(del y) + (del u_z)/(del z)) hat k

Já o outro termo será

(del^2 vec u)/(del x^2) + (del^2 vec u)/(del y^2) + (del^2 vec u)/(del z^2) = ((del^2 u_x)/(del x^2) hat i + (del^2 u_y)/(del x^2) hat j + (del^2 u_z)/(del x^2) hat k) + ((del^2 u_x)/(del y^2) hat i + (del^2 u_y)/(del y^2) hat j + (del^2 u_z)/(del y^2) hat k) + ((del^2 u_x)/(del z^2) hat i + (del^2 u_y)/(del z^2) hat j + (del^2 u_z)/(del z^2) hat k)

Subtraindo uma expressão da outra, achamos exatamente o que achamos do lado esquerdo:

grad (grad * vec u) - ((del^2 vec u)/(del x^2) + (del^2 vec u)/(del y^2) + (del^2 vec u)/(del z^2)) = ((del)/(del y) ((del u_y)/(del x) - (del u_x)/(del y)) - (del)/(del z) ((del u_x)/(del z) - (del u_z)/(del x))) hat i + ((del)/(del z) ((del u_z)/(del y) - (del u_y)/(del z)) - (del)/(del x) ((del u_y)/(del x) - (del u_x)/(del y))) hat j + ((del)/(del x) ((del u_x)/(del z) - (del u_z)/(del x)) - (del)/(del y) ((del u_z)/(del y) - (del u_y)/(del z))) hat k

Com isso, provamos a relação pedida:

grad xx (grad xx vec u) = grad (grad * vec u) - ((del^2 vec u)/(del x^2) + (del^2 vec u)/(del y^2) + (del^2 vec u)/(del z^2))

Resposta

Demonstração.

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