Um canhão colocado na beirada de um penhasco de altura H, dispara uma bala diretamente para cima, com uma rapidez inicial v 0 . A bala se eleva, cai de volta (errando o canhão por uma pequena margem) e chega ao pé do penhasco. Desconsiderando a resistência do ar, calcule a velocidade como função do tempo e mostre explicitamente que a integral temporal de F → ∙ v → enquanto a bala está em voo, é igual à variação da energia cinética da bala no mesmo tempo.

Passo 1

Da cinemática, a gente sabe que:

v = v 0 + a t

Estamos orientando o eixo y para cima, então a aceleração é dada por a = - g :

v → = v 0 - g t j ^

Passo 2

A força atuando é o peso, e aponta para baixo:

F → = - m g j ^

Vamos calcular o produto escalar:

F → ∙ v → = - m g j ^ ∙ [ v 0 - g t j ^ ]

F → ∙ v → = m g 2 t - m g v 0

Passo 3

O produto Fv é a potência, então:

P = m g 2 t - m g v 0

Só que a potência é a derivada do trabalho:

d W d t = m g 2 t - m g v 0

Passo 4

Agora a gente integra no tempo para achar o trabalho:

W = ∫ 0 t m g 2 t - m g v 0 d t

W = 1 2 m g 2 t 2 - m g v 0 t

Passo 5

Da cinemática, a gente sabe que

v = v 0 - g t

Isola o t:

t = v 0 - v g

Passo 6

Joga o tempo no trabalho:

W = 1 2 m g 2 v 0 - v g 2 - m g v 0 v 0 - v g

Desenvolvendo, a gente chega em:

W = 1 2 m v 2 - 1 2 m v 0 2

que é a variação da energia cinética.

Resposta

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