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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 24.1 - Ex. 62

O raio e o comprimento do fio central no tubo Geiger são 0,200   m m e 12,0   c m , respectivamente. A superfície exterma do tubo é uma casca cilíndrica condutora que tem raio interno de 1,50   c m . A casca é coaxial com o fio e tem o mesmo comprimento ( 12,0   c m ). O tubo é preenchido com um gás que tem constante dielétrica de 1,08 e rigidez dielétrica de 2,00 × 10 6   V / m .

(a) Qual é a máxima diferença de potencial que pode ser mantida entre o fio e a casca?

(b) Qual é a carga máxima por unidade de comprimento do fio?

Passo 1

Cara... Antes de tudo, já te adianto que o tubo de Geiger pode ser considerado como um capacitor cilíndrico com um fio central e uma casca condutora...

No nosso caso, o raio central a é igual a 0,200   m m e o raio da externa é 1,50   c m e l = 12,0   c m .

Agora, sabendo desses dados aí de que o tubo é preenchido com um gás de constante dielétrica k = 1,08 e rigidez de 2,00 × 10 6   V / m (a rigidez pode ser pensada como a máxima tensão por m que pode ser aplicado), podemos então calcular todos os itens desse problema, bora?

Passo 2

L e t r a   A :

Bem... Sabemos que a máxima tensão sempre é ditada pela rigidez dielétrica do gás e sabemos que a rigidez é de 2,00 × 10 6   V / m , o que significa que se as placas cilíndricas estivesse separadas por 1 m , a máxima tensão permitida nelas seria 2,00 × 10 6   V / m .

No nosso caso...

A separação entre as placas é dada por...

b - a = 1,50   c m - 0,200   m m

Como c (centí) é 10 - 2 e m ( m i l i ) é 10 - 3 ...

b - a = 1,50 ⋅ 10 - 2   m - 0,2 00 ⋅ 10 - 3   m   →

b - a = 1 5 , 0 ⋅ 10 - 3   - 0,200 ⋅ 10 - 3           m →

b - a = 1 4 , 8 ⋅ 10 - 3           m

Então essa é a separação das placas em metros, para saber qual é a tensão máxima possível, vamos fazer aqui uma regrinha de três...

1 m         →           2,00 × 10 6   V / m

14,8 ⋅ 10 - 3 m                 →                 x

Multiplicando cruzado...

x = 14,8 ⋅ 10 - 3 ⋅ 2 , 00 × 10 6   →

x = 29,6 × 10 3   V

Ou ainda, a máxima tensão permitida é 29,6   k V .

Passo 3

L e t r a   B :

Bem, sabemos que a capacitância de um capacitor cilíndrico pode ser dada por...

C = 2 π k ε 0 L ln ⁡ b a

E ainda que em um capacitor sempre é válida a relação...

Q = C V   →

Q = 2 π k ε 0 L ln ⁡ b a V

Então, a quantidade de carga por unidade de comprimento L pode ser dada por...

σ = Q L = 2 π k ε 0 ln ⁡ b a V

Onde V é a máxima tensão que encontramos no item anterior e ε 0 = 8,85 ⋅ 10 - 12   C 2 / N m 2 ...

σ = 2 π ⋅ 1,08 ⋅ 8,85 ⋅ 10 - 12 ln ⁡ b a ⋅ 29,6 × 10 3

Como vimos no passo anterior...

b - a = 15,0 ⋅ 10 - 3   - 0,200 ⋅ 10 - 3           m

O que significa que b = 15 ⋅ 10 - 3 e a = 0,200 ⋅ 10 - 3 ...

σ = 2 π ⋅ 1,08 ⋅ 8,85 ⋅ 10 - 12 ln ⁡ 15 ⋅ 10 - 3 0,200 ⋅ 10 - 3 ⋅ 29,6 × 10 3     →

σ = 2 π ⋅ 1,08 ⋅ 8,85 ln ⁡ 15 0,200 ⋅ 29,6 × 10 - 9     →

σ = 411,7 × 10 - 9     →

Ou ainda...

σ = 411,7   n C / m

Resposta

Letra A: 29,6   k V

Letra B: σ = 411,7   n C / m

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