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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 27.Problemas Adicionais - Ex. 95

Um capacitor C inicialmente descarregado é carregado totalmente por uma fonte de força eletromotriz constante ε ligada em série com um resistor R. (a) Mostre que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte. (b) Integrando o produto i 2 R no intervalo de carga, mostre que a energia térmica dissipada pelo resistor também é igual à metade da energia fornecida pela fonte.

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui temos um exercício onde um capacitor é descarregado e está ligado a uma resistência R em série.

Passo 2

(a) Para provar que a energia final armazenada no capacitor é igual à metade da energia fornecida pela fonte de força eletromotriz (fem) em um circuito RC, primeiro escreveremos uma equação para a energia armazenada no capacitor:

[ U C = 1 2 C q 2 ]

Sabendo que a carga q no capacitor é dada por:

[ q = C ε 1 - e - t R C ]

Vamos verificar o que acontece quando a carga tende para infinito (o que equivale a um capacitor totalmente carregado):

[ lim t → ∞ ⁡ q = C ε ⋅ lim t → ∞ ⁡ 1 - e - R C t ]

[ lim t → ∞ ⁡ q = C ε ⋅ 1 - 0 ]

[ lim t → ∞ ⁡ q = C ε ]

Passo 3

Agora que encontramos o valor limite da carga conforme o tempo tende para infinito, vamos substituí-lo na equação 1 para encontrar o valor limite da energia armazenada no capacitor conforme o tempo tende para infinito:

[ lim t → ∞ ⁡ U C = 1 2 C lim t → ∞ ⁡ q 2 ]

[ lim t → ∞ ⁡ U C = 1 2 C ⋅ C ε 2 ]

[ lim t → ∞ ⁡ U C = 1 2 C ε 2 ]

[ lim t → ∞ ⁡ U C = 1 2 C ε 2 ]

[ lim t → ∞ ⁡ U C = 1 2 C ε 2 C ]

[ lim t → ∞ ⁡ U C = 1 2 ε 2 ]

Portanto, a energia final armazenada no capacitor, conforme o tempo tende para infinito, é igual à metade da energia fornecida pela fonte de força eletromotriz (fem) em um circuito RC.

Passo 4

(b) Sabemos que a saída infinitesimal de energia d U R ​ da fonte de força eletromotriz (fem) é igual à sua potência ε I ​ multiplicada pela mudança infinitesimal no tempo d t :

d U R = ε I ​ d t

U R = ∫ 0 ∞ i 2 R d t

= ε 2 R ∫ 0 ∞ e – 2 t / R C d t

= 1 2 C ε 2 = U 2

Resposta

Veja o desenvolvimento.

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