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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 27.Exercícios e Problemas - Ex. 69

Um capacitor de placas paralelas tem placas de área igual a 0,12   m 2 e uma separação de 1,2   c m . Uma bateria carrega as placas sob uma diferença de potencial de 120   V e é, então, retirada. Uma lâmina dielétrica com 4.0   m m de espessura e constante dielétrica igual a 4.8 é introduzida, simetricamente, entre as placas. (a) Determine a capacitância antes da introdução da lâmina, (b) Qual é a capacitância com a lâmina no lugar? (c) Qual é a carga livre q , antes e depois da introdução da lâmina? (d) Qual é o campo elétrico no espaço entre as placas e o dielétrico? (e) Qual é o campo elétrico no dielétrico? (f) Com a lâmina no lugar, qual é a diferença de potencial entre as placas do capacitor? (g) Que quantidade de trabalho externo está envolvida no processo de introdução da lâmina?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Por definição, a capacitância em um capacitor de placas paralelas antes da introdução da lâmina dielétrica é

C 0 = ϵ 0 A d

Substituindo os valores dados pelo enunciado, temos

C 0 = 8,85 × 10 - 12 0,12 1,2 × 10 - 2

C 0 = 88,5 × 10 - 12 = 88,5   p F

Passo 2

Para resolvermos a letra (b) devemos adiantar as letras (c), (d), (e) e (f).

Podemos usar a fórmula abaixo para calcular a carga livre entre as placas antes da introdução da lâmina.

q = C 0 V 0 = 120 88,5 × 10 - 12

q = 10,6   n C

Como a bateria que carregou o capacitor foi desligada antes da introdução da lâmina dielétrica, a carga livre não se altera quando a lâmina é colocada no lugar. Agora vamos aplicar a lei de Gauss na forma dada pela à superfície gaussiana, que envolve somente a carga livre da placa superior do capacitor. Temos

E 0 = q ϵ 0 A

Substituindo os valores, teremos o campo elétrico no espaço entre as placas e o dielétrico.

E 0 = 10,6 × 10 - 9 8,85 × 10 - 12 0,12 = 9,98   k V / m

Note que o valor de E 0   não se altera quando a lâmina é introduzida. Ele depende somente da carga livre sobre as placas.

Passo 3

E qual é o campo elétrico no dielétrico? Vamos calcular agora aplicando à lei de Gauss a superfície do dielétrico.

E 1 = q k ϵ 0 A = E 0 k

Assim,

E 1 = 2,1   k V / m

Onde k é a constante dielétrica igual a 4.8 .

Passo 4

Com a lâmina no lugar, aplicamos a equação abaixo, integrando ao longo de uma trajetória que vai diretamente da placa superior para a placa inferior. Dentro do dielétrico, o comprimento da trajetória é b e o campo elétrico é E 1 . Dentro das duas lacunas acima e abaixo do dielétrico, o comprimento total da trajetória é d   -   b e o campo elétrico é E 0 . Então, nos dá

V = ∫ + - E   d s = E 0 d - b + E 1 b

Logo a diferença de potencial entre as placas do capacitor é

V = 9,98 × 10 3   1,2 × 10 - 2 - 4,0 × 10 - 3 + 2,1 × 10 3 4,0 × 10 - 3

V = 88,2   V

Passo 5

Agora, por fim, podemos calcular a capacitância com o dielétrico. Seguindo a fórmula abaixo, temos

C = q V = 10,6 × 10 - 9 88,2  

C = 120   p F

A energia potencial inicial é

U i = q 2 2 C

O capacitor exerceria um pequeno puxão sobre a lâmina e realizaria sobre ela um trabalho igual a

W = U i = q 2 2 k C

W = 10,6 × 10 - 9 2 2 120 × 10 - 12 4,8

Assim,

W = 0,17   μ J

Resposta

  1. C 0 = 88,5   p F
  2. C = 120   p F
  3. q = 10,6   n C
  4. E 0 = 9,98   k V / m
  5. E 1 = 2,1   k V / m
  6. V = 88,2   V
  7. W = 0,17   μ J

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