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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 45

No Capítulo 8, introduziremos um novo vetor associado a uma partícula, a sua quantidade de movimento linear, simbolizado por p → . Matematicamente, ele está relacionado à massa m e à velocidade v → da partícula por p → = m v → . (a) Mostre a energia cinética da particula, K , pode ser escrita como K = p → ∙ p → / 2 m . (b) Calcule a quantidade de movimento linear de uma partícula de 2,5 kg de massa que se move com urna rapidez de 15 m/s formando um ângulo de 25º, no sentido horário, com o eixo +x no plano xy. (c) Calcule sua energia cinética usando K = m v 2 / 2 e K = p → ∙ p → / 2 m , verificando que ambas as relações dão o mesmo resultado.

Passo 1

Letra (a)

Vamos executar o produto escalar:

p → ∙ p → = ( m v → ) ∙ ( m v → )

p → ∙ p → = m 2 ( v → ∙ v → )

p → ∙ p → = m 2 v 2

Agora divide os dois lados por 2 m :

p → ∙ p → 2 m = m 2 v 2 2 m

p → ∙ p → 2 m = m v 2 2

Só que o lado direito é justamente a energia cinética:

K = p → ∙ p → 2 m

Passo 2

Letra (b)

A velocidade é dada por:

v → = 15 m s c o s 335 ° i ^ + 15 m s s e n 335 ° j ^

Coloquei 335º por que 25º no sentido horário é igual a 335º no sentido anti-horário (o sentido anti-horário é o sentido trigonométrico). Então para calcular o momento linear, a gente usa a expressão:

p → = m v →

p → = 2,5   k g 15 m s c o s 335 ° i ^ + 15 m s s e n 335 ° j ^

p → = 34   k g ∙ m / s i ^ + - 16   k g ∙ m / s j ^

Passo 3

Letra (c)

Vamos começar com K = m v 2 2 :

K = 2,5   k g 15   m / s 2 2 = 280   J

Agora usando a expressão K = p → ∙ p → 2 m :

K = 34   k g ∙ m / s i ^ + - 16   k g ∙ m / s j ^ ∙ 34   k g ∙ m / s i ^ + - 16   k g ∙ m / s j ^ 2 ( 2,5   k g )

K = 34   k g ∙ m / s 2 + - 16   k g ∙ m / s 2 5,0   k g = 280   J

Resposta

Letra (a): ver solução

Letra (b): p → = 34   k g ∙ m / s i ^ + - 16   k g ∙ m / s j ^

Letra (c): ver solução

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