Uma carga positiva q está fixa no ponto x = 0 e y = 0 e uma carga negativa - 2 q está fixa no ponto x = a e y = 0 . a)Faça um diagrama para mostrar as posições das cargas. b)Deduza uma relação para o potencial V   em qualquer ponto sobre o eixo O x em função da coordenada x . Considere zero o potencial a uma distância infinita das cargas. c)Para qual ponto do eixo O x   o potencial V = 0 ? d)Faça um gráfico do potencial sobre o eixo O x em função de x de x = - 2 a até   x = + 2 a . e)Qual seria a resposta do item (b) quando   x > > 2 ? Explique como esse resultado é obtido.

Passo 1

letra a)

Como q está fixa no ponto x = 0 e - 2 q está fixa no ponto x = a e y = 0 , temos:

Passo 2

letra b)

Queremos o potencial em todos os pontos do eixo O x .

V = 1 4 π ϵ o Q r

O potencial total em qualquer ponto é a soma algébrica dos potenciais das duas cargas.

V = 1 4 π ϵ o q r 1 - 1 4 π ϵ o 2 q r 2

Precisamos então olhar os três casos.

x > a , 0 < x < a e x < 0

Passo 3

Para x > a :

V = 1 4 π ϵ o q x - 1 4 π ϵ o 2 q x - a

V = - q 4 π ϵ o x x + a x - a

Passo 4

Para x < 0 :

V = - 1 4 π ϵ o q x + 1 4 π ϵ o 2 q x - a

V = q 4 π ϵ o x x + a x - a

Passo 5

Para 0 < x < a :

V = 1 4 π ϵ o q x - 1 4 π ϵ o 2 q a - x

V = q 4 π ϵ o x 3 x - a x - a

Passo 6

De modo geral, podemos escrever:

V = 1 4 π ϵ o q x - 2 q x - a

Passo 7

letra c)

Queremos saber em quais pontos, V = 0 .

Considerando os potenciais que encontramos no item anterior, o potencial será nulo, quando o numerador zerar. Logo:

3 x - a = 0 → x = a 3

x + a = 0 → x = - a

Passo 8

letra d)

Fazendo um gráfico do potencial que encontramos, podemos ver que há 3 regiões onde o potencial não é nulo, assim como nós encontramos.

Passo 9

letra e)

Queremos saber o que acontece com o potencial:

V = 1 4 π ϵ o q x - 2 q x - a

quando x > > a .

V = 1 4 π ϵ o q x - 2 q x - a ∼ 1 4 π ϵ o q x - 2 q x

V = 1 4 π ϵ o - q x

V = 1 4 π ϵ o - q x x 2

V = 1 4 π ϵ o - q x

Que é o potencial de uma carga - q .

Resposta

letra a)

letra b) V = 1 4 π ϵ o q x - 2 q x - a

letra c) x = a 3 e x = - a

letra d)

letra e) V = 1 4 π ϵ o - q x

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