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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 3

Um carrinho sobre um trilho de ar está preso a uma mola. O carrinho é puxado para a direita e liberado, a partir do repouso, em t = 0 s. Ele, então, passa a oscilar com período de 2,0 s e velocidade máxima de 40 cm/s.

a. Qual é a amplitude da oscilação?

b. Qual é a posição do carrinho em t = 0,25 s?

Passo 1

Sabemos que a posição de um corpo em MHS pode ser modelado como:

x = A cos ⁡ ω t + ϕ 0

onde ω é a frequência angular, A é a amplitude e ϕ 0 é a fase inicial.

A frequência angular pode ser calculada como:

ω = 2 π T

Passo 2

  1. Derivando a posição, podemos chegar na velocidade:

    2. v = d x d t v = d d t A cos ⁡ ω t + ϕ 0 v = - A ω sin ⁡ ω t + ϕ 0

    Notemos que o seno varia entre - 1 e 1 . Assim, o máximo valor de v ocorre quando o seno é - 1 . Logo,

    v m á x = A ω v m á x = A 2 π T A = T v m á x 2 π A = 2,0 0,40 2 3,14 A = 0,1 27   m A = 1 2,7   c m

    Passo 3

  2. Agora que já temos A e ω , nos falta determinar ϕ para que possamos conhecer a equação por completo. Para isso, vamos considerar o instante inicial t = 0 . Nesse instante, temos x = + A   (pois o corpo foi puxado para a direita). Logo,

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ 0 x 0 = A cos ⁡ ω ⋅ 0 + ϕ 0 A = A cos ⁡ ϕ 0 cos ⁡ ϕ 0 = 1 ϕ 0 = 0

Portanto, temos

x = 12,7 cos ⁡ π t + 0 x = 12,7 cos ⁡ π t

Fazendo t = 0,25 , temos:

x = 12,7 cos ⁡ 0,25 π x = 9,0   c m

Resposta

  1. 12,7   c m .
  2. 9,0   c m .
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