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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 13.1 - Ex. 26

A casa da moeda americana cunha, desde 1983, moedas de um centavo feitas de zinco com revestimento de cobre. A massa deste tipo de moeda é de 2,50 g. Use um modelo de cilindro homogêneo para a moeda, com altura 1,23 mm e raio 9,50 mm. Suponha que o revestimento de cobre seja uniformemente espesso em todas as superfícies. Se a massa específica do zinco é 7140 kg/m³ e a do cobre é 8930 kg/m³, qual a espessura do revestimento de cobre?

Passo 1

Bom, aqui nós podemos fazer um desenho do que está sendo dito pelo problema.

Nós queremos achar a espessura do cobre, d.

É isso ai, já sabemos o queremos, mas como achar d? Para isto precisamos perceber que a massa da moeda será:

m = m C u + m Z n

Lembrando da fórmula:

ρ = m V → m = ρ V

Substituindo:

m = ρ C u V C u + ρ Z n V Z n

Bom, a massa total e as massas específicas nós sabemos então precisamos somente dos volumes. A moeda se comporta como cilindro, portanto, o volume será

V = A b a s e . h

Como a base é um círculo:

V = π r ² . h

Para o zinco, a altura é ( h - 2 d ) e o raio ( r - d ). Então o volume:

V Z n = π r - d 2 . ( h - 2 d )

Para o cobre, vai ser um pouco mais complicado. Na parte superior e inferior da moeda o raio será r e d a altura. Mas também temos a lateral, e neste caso nós vamos usar o comprimento da circunferência ( 2 π r ) vezes a largura (d) e a altura (h-2d):

V C u = 2 π r ² d + 2 π r d h - 2 d

Substituindo na massa:

m = ρ C u [ 2 π r ² d + 2 π r d h - 2 d ] + ρ Z n π r - d 2 . ( h - 2 d )

Reorganizando:

m = ρ C u [ 2 π r ² d + 2 π r d h 1 - 2 d h ] + ρ Z n π r ² h 1 - d r 2 . ( 1 - 2 d h )

Passo 2

Bom, agora teremos que usar um artifício matemático e assumiremos que d ≪ h   e   d ≪ r , ou seja,

2 d h = 0   e   d r = 0  

Então:

m = d . ρ C u [ 2 π r ² + 2 π r h ] + ρ Z n π r ² h

Isolando d:

d = m - ρ Z n π r ² h 2 π r ρ C u r + h

Sabemos que:

ρ Z n = 7140   k g / m ³  

ρ C u = 8930   k g / m ³

m = 2,50   g = 2,50   x   10 - 3   k g

r = 9,50   m m = 9,50   x   10 - 3 m

h = 1,23   m m = 1,23   x   10 - 3 m

Substituímos:

d = ( 2,50   x   10 - 3   k g ) - π ( 7140   k g / m ³ ) ( 9,50   x   10 - 3 m ) ² ( 1,23   x   10 - 3 m ) 2 π ( 9,50   x   10 - 3 m ) ( 8930   k g / m ³ ) 9,50   x   10 - 3 m + 1,23   x   10 - 3 m

d = 1,7   μ m

Resposta

d = 1,7   μ m

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