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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 20.1 - Ex. 39

Uma casca esférica de condutividade térmica k tem raio dentro r 1 e raio fora r 2 (Figura 20-19). O interior da casca é mantido a uma temperatura T 1 , e o exterior da casca é mantido a temperatura T 2 , com T 1 < T 2 . Neste problema, você deve mostrar que a corrente térmica através da casca é dada por

I = - 4 π k r 1 r 2 r 2 - r 1 T 2 - T 1

onde I é positivo se o calor é transferido na direção +   r . Aqui está um procedimento sugerido para obter esse resultado: (1) obter uma expressão para a corrente térmica I através de uma fina casca esférica de raio r e espessura d r quando houver uma diferença de temperatura d T na espessura da casca; (2) explique por que a corrente térmica é a mesma em cada concha fina; (3) expressar a corrente térmica I através desse elemento de casca em termos da área A = 4 π r 2 , da espessura d r , e da diferença de temperatura d T no elemento; e (4) separar variáveis (resolver d T em termos de r e d r ) e integrar.

Passo 1

Bom, o próprio enunciado já nos dá alguns dos passos que precisaremos para chegarmos no resultado pedido. A equação da corrente térmica é a seguinte:

I = ∆ T R

E podemos substituir R, que é dado pela equação:

R = ∆ x A k

Ficamos com:

I = A k ∆ T ∆ x

Para uma variação infinitesimal de comprimento x de um determinado objeto, a temperatura irá variar uma quantidade infinitesimal correspondente, em outras palavras, se ∆ x for muito pequeno, ∆ T também será, para manter a proporção, já que I é constante. Dessa forma podemos escrever I da seguinte forma:

I = A k d T d x

E como a variação da temperatura nesse problema ocorre de maneira radial, ou seja, ela diminui ou aumenta à medida que se afasta da origem, podemos utilizar coordenadas esféricas, então a equação será:

I = A k d T d r

Passo 2

Vamos agora expressar a área de uma superfície esférica qualquer de raio r:

A = 4 π r 2

E utilizar na equação:

I = 4 π r 2 k d T d r

Separando as variáveis, ficamos com:

d r r 2 = 4 π k I d T

Passo 3

E agora resolvemos a equação diferencial expressando os dois valores de temperatura correspondentes aos dois raios das esferas:

∫ r 1 r 2 d r r 2 = 4 π k I ∫ T 1 T 2 d T

Resolvendo as duas integrais:

- 1 r r 2 r 1 = 4 π k I T T 2 T 1

Substituindo os limites:

- 1 r 2 - 1 r 1 = 4 π k I ( T 2 - T 1 )

E isolando o I :

I = - 4 π k r 1 r 2 r 2 - r 1 T 2 - T 1

Que é o resultado expressado pelo enunciado

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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