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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 31.Problemas Adicionais - Ex. 85

No caso de um circuito R L C série, mostre que em um ciclo completo de período T (a) a energia armazenada no capacitor não varia; (b) a energia armazenada no indutor não varia; (c) a energia fornecida pela fonte alternada é T 2 ε m I c o s ϕ ; (d) a energia dissipada no resistor é T R I 2 / 2 . (e) Mostre que os resultados dos itens (c) e (d) são iguais.

Passo 1

Como a aenergia armazenada no capacitor é dada por U E = q 2 / 2 C e a carga q é uma função periódica de t de período T , U E é uma função periódica de t de período T 2 e, portanto, a energia armazenada no capacitor não varia em um ciclo completo de período T .

Passo 2

Como a energia armazenada no indutor é U B = L i 2 / 2 e a corrente i é uma função periódica de t de período T , U B é uma função periódica de t de período T / 2 e, portanto, a energia armazenada no indutor não varia em um ciclo completo de período T .

Passo 3

A energia fornecida pela fonte alternada em um ciclo é:

U E = ∫ 0 T P E d t = I ε m ∫ 0 T s e n ω d t - ϕ s e n ω d t d t

U E = I ε m ∫ 0 T [ s e n ( ω d t ) c o s ϕ - cos ⁡ ω d t s e n ϕ ] s e n ( ω d t ) d t

U E = T 2 I ε m c o s ϕ ,

Na qual usamos as relações

∫ 0 T s e n ² ( ω d t ) d t = T 2   e   ∫ 0 T s e n ω d t cos ⁡ ω d t d t = 0

Passo 4

A energia dissipada no resistor em um ciclo é:

U R = ∫ 0 T P R d t = I 2 R ∫ 0 T s e n 2 ω d t - ϕ d t

U R = T 2 I ² R

Passo 5

Como ε m I c o s ϕ = ε m I V R ε m = ε m I I R ε m = I ² R , os resultados dos itens (c) e (d) são iguais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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