Um cilindro uniforme de massa e raio gira sobre suportes sem atrito. Um fio sem massa, enrolado em torno do cilindro, está ligado a um bloco de massa , que está sobre um plano inclinado de , sem atrito, como mostrado na figura. O sistema é largado do repouso quando o bloco está a uma distância vertical da base do plano inclinado. (a) Qual é a aceleração do bloco? (b) Qual é a tensão no fio? (c) Qual é a rapidez do bloco quando ele chega à base do plano inclinado? (d) Determine suas respostas para o caso especial em que e . Suas respostas são o que você esperaria neste caso especial? Explique.

Percebe que a tensão no cilindro é a única força nele que não passa pelo seu centro, então ela é a única responsável por fazer o cilindro girar, já que ela vai causar um torque no cilindro.

E se o cilindro está girando, a gente pode usar a segunda lei de Newton para rotação nele. Ela tem essa carinha:

A única força gerando o torque é a tensão . Ela é perpendicular ao raio do cilindro, então o torque gerado vai ser , aí nossa lei de Newton fica:

E é o momento de inércia do cilindro com relação a um eixo que passa pelo seu centro. Ele tem essa fórmulinha:

Substituindo:

Lembra como relacionamos aceleração angular e tangencial ? Assim oh:

Substituindo na nossa equação:

Mas a gente não sabe quem é e nem quem é , então precisamos de mais uma equação.

Bora fazer a segunda lei de Newton mais comum para o bloco. Para a direção :

A componente de no eixo é :

Podemos substituir aqui a expressão para que achamos no passo anterior :

Agora é isolar :

b) Queremos a tensão agora. Temos que

Mas a gente acabou de achar , então podemos substituir aí:

c) Queremos a rapidez do bloco no fim da rampa. Ele diz a altura do bloco na posição incial. Isso é a dica master para gente usar conservação de energia.

Inicialmente, o bloco tinha apenas energia potencial gravitacional. Não havia energia cinética porque ele e o cilindro estavam paradinhos. Então temos:

(o cilindro não varia sua altura durante o movimento, então a gente não vai pensar na energia potencial gravitacional dele)

Depois que começa a descer, o bloco adquire energia cinética, e o cilindro energia cinética rotacional.

Substituindo a expressão de cada uma dessas energias:

Aí a conservação fica:

Mas lembra que é o momento de inércia do cilindro e vale . E a gente pode escrever a rapidez angular usando essa expressão:

Percebe que é o mesmo do bloco, porque essa é a velocidade que o movimento do bloco gera na borda do cilindro. Substituindo as nossas expressões de e na conservação:

Isolando :

Dividindo em cima e embaixo por :

d) Para o caso em que e :

A tensão fica

E a rapidez

Realmente, esse é o caso equivalente a não ter polia (, a massa zerada, é a massa da polia). Como o ângulo é , o bloco cairia verticalmente com aceleração , sem interferência da tensão. Aí a conservação de energia seria:

Como encontramos! Então nossos resultados fazem sentido.