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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Exercício - Ex. 38

38- Para o circuito indicado na Figura 30.17 , seja C = 15.0   n F ,   L = 22   m H e R = 75.0   Ω .

( a ) Calcule a frequência de oscilação no circuito após o capacitor ter sido carregado e a chave ter sido conectada ao ponto a

( b ) Quanto tempo levará para a amplitude da oscilação cair 10.0 % em relação ao seu valor original?

( c ) Qual valor de R produzirá um circuito criticamente amortecido?

Passo 1

A frequência angular de um circuito R L C subamortecido é dado por:

ω = 1 L C - R 2 4 L 2

Esse resultado é obtido resolvendo a EDO de segunda ordem d 2 q d t 2 + R L d q d t + q L C = 0 supondo que temos raízes complexas e imaginárias (que é o caso subamortecido).

E com os valores que o enunciado nos dá nós temos:

ω = 1 22 × 10 - 3 × 15 × 10 - 9 - 75 2 4 × 22 × 10 - 3 2 = 55.021.8   r a d / s

Só que a frequência é dada por:

f = ω 2 π = 8.76   k H z

Passo 2

A equação da carga no tempo tem uma fórmula igual a:

q = A e - R 2 L t cos ⁡ 1 L C - R 2 4 L 2 t + ϕ

Onde cada pico de amplitude tem valor de:

q m á x = A e - R 2 L t

Por ser a equação de uma onda subamortecida.

No tempo t = 0 a amplitude da onde tem valor A e o tempo para que tenhamos 10 % da amplitude será:

0.1 A = A e - R t 2 L

0.1 = e - R t 2 L

ln ⁡ 0.1 = - R t 2 L

t = - 2 L   l n 0.1 R

Substituindo os valores dados no enunciado nós temos:

t = - 2 × 22 × 10 - 3 ln ⁡ 0.1 75 = 1.351 × 10 - 3   s

Passo 3

Em um circuito criticamente amortecido ω = 0 então:

0 = 1 L C - R 2 4 L 2

R 2 4 L 2 = 1 L C

R 2 = 4 L 2 L C

R = 4 L C

Então pelos valores do enunciado:

R = 4 × 22 × 10 - 3 15 × 10 - 9 = 2422   Ω

Resposta

a )   f = 8.76   k H z

b )   t = 1.351 × 10 - 3   s

c )   2422   Ω

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