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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 36.Exercícios e Problemas - Ex. 13

Em um circuito L C oscilante, L = 3,00 m H e C = 2,70 μ H . No instante t = 0 , a carga do capacitor é zero e a corrente é 2,00 A. (a) Qual é a carga máxima do capacitor? (b) Em que instante de tempo t > 0 a taxa com a qual a energia é armazenada no capacitor é máxima pela primeira vez? (c) Qual é o valor da taxa?

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

(a) A variação da carga com o tempo é dada por q = Q sen ω t , na qual Q é a carga máxima do capacitor e ω é a frequência angular de oscilação. A função seno foi escolhida para que q = 0 no instante t = 0 . A variação da corrente com o tempo é dada por

i = d q d t = ω Q c o s ⁡ ω t

e, no instante  t = 0 , a corrente  e I = ω Q . Como  ω = 1 / L C , temos:

Q = I L C = ( 2,00 A ) 3,00 × 10 - 3 H 2,70 × 10 - 6 F = 1,80 × 10 - 4 C = 0,180 m C

Passo 2

(b) A energia armazenada no capacitor é dada por

U E = q 2 2 C = Q 2 s e n 2 ⁡ ω t 2 C

e a taxa de variação é

d U E d t = ω Q 2 s e n ⁡ ω t c o s ⁡ ω t C = ω Q 2 2 C s e n ⁡ ( 2 ω t )

A taxa de variação é máxima para sen  ( 2 ω t ) = 1 , o que nos dá  2 ω t = π / 2 r a d . Assim,

t = π 4 ω = π 4 L C = π 4 3,00 × 10 - 3 H 2,70 × 10 - 6 F = 7,07 × 10 - 5 s = 70,7 μ s .

Passo 3

(c) Fazendo  ω = 2 π / T  e  s e n ⁡ ( 2 ω t ) = 1  na equação  d U E / d t = ω Q 2 / 2 C s e n ⁡ ( 2 ω t ) ,  obtemos

d U E d t m a x = 2 π Q 2 2 T C = π Q 2 T C

Como  T = 2 π L C = 2 π 3,00 × 10 - 3 H 2,70 × 10 - 6 F = 5,655 × 10 - 4 s , temos:

d U E d t m a x = π 1,80 × 10 - 4 C 2 5,655 × 10 - 4 s 2,70 × 10 - 6 F = 66,7 W

Note que a derivada é positiva, o que mostra que a energia armazenada no capacitor está realmente aumentando no instante t = T / 8 .

Opa, gostou da resolução? Responde Aí!

Resposta

a. 0,180 m C

b. 70,7 μ s .

c. t = T / 8 .

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