Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 67
Coeficiente de atrito variável. Uma caixa desliza sobre uma superfície horizontal com velocidade escalar de quando, no ponto , encontra uma área áspera. Na área áspera, o coeficiente de atrito não é constante, mas se inicia a em e aumenta linearmente conforme ultrapassa , atingindo um valor de a após o ponto .
a) Use o teorema de trabalho – energia para achar a distância percorrida por essa caixa antes de parar.
b) Qual é o coeficiente de atrito no ponto de parada?
c) Qual distância a caixa percorreria, caso o coeficiente de atrito não aumentasse, mas, em vez disso, tivesse o valor constante de ?
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema! Temos uma caixa deslizando em uma pista lisa horizontal com velocidade de .
Inicialmente não temos atrito e após o ponto a gente passa a ter um coeficiente de atrito que vai aumentando linearmente com o passar da distância.
O enunciado pede para usarmos o teorema do trabalho para descobrir a distância percorrida. O teorema nos diz:
Como a caixa desliza até parar, a velocidade final deve ser zero, então .Além disso, temos que o trabalho da força de atrito será:
Com isso, devemos integrar pois o coeficiente de atrito é variável. Contudo, o problema não nos traz qual é a expressão, então temos que achar essa fórmula. Bora lá!
Passo 2
O enunciado diz que a atrito aumenta linearmente a partir de um valor de . Aplicando a equação da reta, teríamos:
Agora temos que descobrir . Relendo o enunciado temos que quando temos que e daqui podemos descobrir qual é essa constante:
Beleza! Agora temos uma expressão para o coeficiente de atrito:
Bora integrar!
Passo 3
Pelo Passo 1, temos então que,
E podemos calcular a distância :
Tirando as constantes da integral:
Integrando:
Temos uma equação de segunda ordem em , resolvemos por báscara:
Jogando tudo isso na calculadora e desconsiderando a raiz negativa temos a distância de .
Passo 4
- Usando para o ponto de parada na expressão para o coeficiente de atrito cinético:
- Caso o coeficiente de atrito não variasse, o trabalho da força de atrito seria e usando o teorema trabalho – energia podemos determinar a nova distância :
Passo 6
Substituindo os valores das constantes teremos o valor da distância:
Uma distância bem maior! E faz sentido, pois aqui o atrito é constante e menor do que no item . Com menos atrito, o objeto se desloca uma distância maior até parar.
Tranquilo? Vamos pra próxima?