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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 107

O coeficiente de restituição ϵ de uma colisão frontal é definido como a razão entre a velocidade relativa depois da colisão e a velocidade relativa antes da colisão. a) Qual é o valor de ϵ para uma colisão completamente inelástica? b) Qual é o valor de ϵ para uma colisão elástica? c) Uma bola é largada de uma altura h sobre uma superfície estacionária e retorna até uma altura H 1 . Mostre que ϵ = H 1 h . d) Uma bola de basquete enchida com a pressão apropriada possui um coeficiente de restituição igual a 0,85. Se essa bola é largada de uma altura de 1,2 m acima de um piso de madeira até que altura ela retorna? e) Quando a bola é rebatida depois da primeira colisão com o solo, a altura atingida é H 1 . Supondo que ϵ seja constante, mostre que a altura atingida quando a bola é rebatida depois de n colisões com o solo é dada por H n = ϵ 2 ⋅ n ⋅ h . f) Supondo que ϵ seja constante, qual a altura atingida por uma bola de basquete enchida com a pressão apropriada e largada de uma altura de 1,2 m?

Passo 1

O enunciado nos fala sobre o coeficiente de restituição elástica e nos dá diferentes casos onde o mesmo é visto para descobrirmos qual o seu valor. Iremos usar as informações sobre o coeficiente de restituição além da função horaria do movimento para uma queda livre e da conservação de energia.

Passo 2

  1. Temos que em uma colisão totalmente inelástica, as duas partículas que estão se chocando praticamente se “fundem”, não sendo mais duas partículas, mas agora apenas uma. Dessa forma, temos que a velocidade relativa entre elas depois da colisão é zero, logo:

    2. ϵ = v r e l a t i v a   a p ó s   c o l i s ã o v r e l a t i v a   a n t e s   c o l i s ã o = 0 v r e l a t i v a   a n t e s   c o l i s ã o = 0

    Passo 3

  2. Para o caso de uma colisão totalmente elástica, temos que após a colisão as partículas voltam com o módulo da velocidade igual ao antes de colidirem, portanto:

    3. ϵ = v r e l a t i v a   a p ó s   c o l i s ã o v r e l a t i v a   a n t e s   c o l i s ã o = 1 1 = 1

    Passo 4

  3. Usando conservação de energia nos pontos em que é solta ao atingir o solo, temos que, para antes de quicar a primeira vez, a energia é dada por:

    4. E i = E f

    1 2 ⋅ m ⋅ v i 1 2 + m ⋅ g ⋅ h i = 1 2 ⋅ m ⋅ v f 1 2 + m ⋅ g ⋅ h f

    Porém, temos que quando a bola é solta sua velocidade é zero e quando a mesma atinge o solo a altura é zero, então temos que:

    m ⋅ g ⋅ h i = 1 2 ⋅ m ⋅ v f 1 2

    v f 1 = 2 ⋅ g ⋅ h i

    Depois da esfera quicar a primeira vez, temos que ela chegará em uma altura diferente da anterior. Assim, pela mesma relação, chegamos que:

    m ⋅ g ⋅ H 1 = 1 2 ⋅ m ⋅ v f 2 2

    v f 2 = 2 ⋅ g ⋅ H 1

    Como ϵ = v 2 f v f 1 = v r e l a t i v a   a p ó s   c o l i s ã o v r e l a t i v a   a n t e s   c o l i s ã o , temos que:

    ϵ = v 2 f v f 1 = 2 ⋅ g ⋅ H 1 2 ⋅ g ⋅ h i = H 1 h i

    Passo 5

  4. Manipulando o resultado que chegamos na alternativa anterior, temos que a nova altura depois de quicar a primeira vez será:

    5. H 1 = ϵ 2 ⋅ h i

    H 1 = 0.85 2 ⋅ ( 1.2   m )

    H 1 = 0.87   m

    Passo 6

  5. Temos que, pela equação que chegamos na alternativa anterior, a altura é dada por:

    6. H 1 = ϵ 2 ⋅ h

    Para a próxima vez que a bola quicar, teremos que

    H 2 = ϵ 2 ⋅ H 1 = ϵ 2 ⋅ ϵ 2 ⋅ h = h ⋅ ϵ 4

    E para a próxima, teremos a seguinte relação:

    H 3 = H 2 ⋅ ϵ 2 = h ⋅ ϵ 4 ⋅ ϵ 2 = h ⋅ ϵ 6

    Assim, para o n-ésimo termo, teremos que:

    H n = H ( n - 1 ) ⋅ ϵ 2 = h ⋅ ϵ 2 ⋅ n - 1 ⋅ ϵ 2 = h ⋅ ϵ 2 n

    Passo 7

Resposta

  1. 0
  2. 1
  3. ϵ = H 1 h i
  4. H 1 = 0.87   m
  5. H n = h ⋅ ϵ 2 n
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