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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 23.1 - Ex. 34

Uma configuracao de cargas consiste em tres cargas puntiformes localizadas no eixo=(Figura 23-33).Uma tem carga igual e esta localizada na origem.As outras duas tem cargas iguais a＋q.uma esta localizada.Esta configuracao pode ser considerada como dois dipolos:um centrado em um momento de dipolo na direcao+z,o outro centrado em e um momento de dipolo na direcao-z.Cada um destes dipolos tem um momento de dipolo com magnitude igual a ql.Dois dipolos arranjados desta maneira formam um quadrupolo eletrico linear.(Ha outros arranjos geometricos de dipolos que criam quadrupolos,mas eles nao sao lineares.)(a)Usando o resultado do Problema 33,mostre que a grandes distancias do quadrupolo (ou seja para L), O potencial elétrico e dado por magnitude do momento de quadrupolo da configuracao de cargas.)(b)Mostre que,no eixo positivo este potencial da um campo elétrico. C) Mostre que voce obtem o resultado da Parte(b)somando os campos eletricos das tres cargas puntitormes.

Passo 1

E ai galera!! Vamos começar aqui essa questão?? Vai ser bem rápido e eu garanto que vocês vão entender!!

Na letra a, o potencial elétrico devido ao quadrupolo elétrico linear é a soma dos potenciais dos dois dipolos. Na letra b, o campo elétrico no eixo y pode ser obtido a partir do potencial elétrico no eixo y usando E → e i x o   z = - ∂ V e i x o   z ∂ z k ^

Letra a:

O potencial elétrico devido ao quadrupolo elétrico linear é dado por:

V quad  = V ↑ + V ↓

Do Problema 23-33:

V ↑ = k q L c o s ⁡ θ r ↑ 2  e  V ↓ = - k q L c o s ⁡ θ r ↓ 2

Substituindo por   V ↑  e  V ↓ , temos:

V quad  = k q L c o s ⁡ θ r ↑ 2 - k q L c o s ⁡ θ r ↓ 2

Simplifique para obter:

V quad  = k q L c o s ⁡ θ r ↓ 2 - r ↑ 2 r ↑ 2 r ↓ 2 = k q L c o s ⁡ θ r ↓ - r ↑ r ↓ + r ↑ r ↑ 2 r ↓ 2

Referindo-se à figura, observe que, para o campo distante ( r > > L ) :

r ↓ - r ↑ ≈ L c o s ⁡ θ , r ↑ + r ↓ ≈ 2 r ,   e   r ↑ ≈ r ↓ ≈ 2 r

Substitua e simplifique para obter:

V quad  ( r , θ ) ≈ k q L c o s ⁡ θ 2 r L cos ⁡ θ r 4 = 2 k q L 2 c o s 2 ⁡ θ r 3

Como B = q L 2 :

V quad  ( r , θ ) ≈ 2 k B c o s 2 ⁡ θ r 3

Passo 2

Letra b:

O campo elétrico no eixo z está relacionado ao potencial elétrico no eixo z:

E → e i x o   z = - ∂ V eixo z  ∂ z k ^

Em seus eixos, θ = 0 e c o s θ = 1 . Então:

V eixo y  ≈ 2 k B y 3

Substituindo por V e i x o   z , temos:

E → e i x o   z = - ∂ ∂ z 2 k B z 3 k ^ = 6 k B z 4 k ^

Passo 3

Letra c:

O campo E no eixo z é dado por:

E → e i x o   z = k q 1 ( z - L ) 2 - 2 z 2 + 1 ( z + L ) 2 k ^

Se w = L 2 / z 2 resulta em:

E → eixo z = k q z 2 1 ( 1 - w ) 2 - 2 + 1 ( 1 + w ) 2 k ^

Expanda ( 1 - w ) 2 e ( 1 + w ) - 2 binomialmente para obter:

( 1 - w ) - 2 = 1 + 2 w + 3 w 2 +   termos de ordem superior  

E

( 1 + w ) - 2 = 1 - 2 w + 3 w 2 +  termos de ordem superior 

Para w < < 1 :

( 1 - w ) - 2 ≈ 1 + 2 w + 3 w 2   e ( 1 + w ) - 2 ≈ 1 - 2 w + 3 w 2

Substituindo E → e i x o   z   na expressão e simplificando, temos:

E → e i x o   z ≈ k q z 2 1 + 2 w + 3 w 2 - 2 + 1 - 2 w + 3 w 2 k ^ = k q z 2 6 w 2 k ^

Finalmente, substitua w para obter:

E → e i x o   z ≈ k q z 2 6 L 2 z 2 k ^ = 6 k q L 2 z 4 k ^ = 6 k B z 4 k ^ ¯

Resposta

  1. V quad  r , θ ≈ 2 k B cos 2 ⁡ θ r 3
  2. E → e i x o   z = - ∂ ∂ z 2 k B z 3 k ^ = 6 k B z 4 k ^
  3. = 6 k B z 4 k ^ ¯
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