Considere uma certa mola que não obedece rigorosamente à lei de Hooke. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada a uma distancia x , é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo O x com modulo dado por F x=k x–b x 2+ c x 3 . Aqui, k=100N / m , b=700N / m 2 e c=12000N / m 3 . Note que para x0 , a mola está esticada e para x0 a mola está comprimida.a)Qual o trabalho necessário para esticar essa mola 0,05 m a partir do seu comprimento sem deformação?b)Qual o trabalho necessário para comprimir essa mola 0,05m a partir do seu comprimento sem deformação?c)É mais fácil comprimir ou esticar essa mola? Explique por que, em termos da dependência de F x comx . (Muitas molas reais se comportam qualitativamente do mesmo modo.)

W=0,115J W=-0,173J É mais fácil esticar a mola já que dispõe de um valor menor de trabalho.

Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 68

Considere uma certa mola que não obedece rigorosamente à lei de Hooke. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada a uma distancia , é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo com modulo dado por . Aqui, , e . Note que para , a mola está esticada e para a mola está comprimida.

a)Qual o trabalho necessário para esticar essa mola a partir do seu comprimento sem deformação?

b)Qual o trabalho necessário para comprimir essa mola a partir do seu comprimento sem deformação?

c)É mais fácil comprimir ou esticar essa mola? Explique por que, em termos da dependência de com. (Muitas molas reais se comportam qualitativamente do mesmo modo.)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão como o deslocamento da mola varia do ponto de equilíbrio no qual até , o trabalho () relaciona-se como:

Substituindo na expressão acima e usando os intervalos como e temos:

x – bx2 + cx3 dx

Separando cada termo em uma integral diferente para que fique mais simples o cálculo, teremos: (Importante que os intervalos sejam mantidos em todas integrais.)

Agora é só resolver a integral e substituir os valores!

Passo 2

Integrando,

Temos,

Passo 3

Agora a mola é comprimida a uma distancia 0,05m do ponto de equilíbrio logo a mola desloca – se para a esquerda de zero e x terá valor negativo. É análogo ao sistema cartesiano, tudo a direita de 0 no eixo x é positivo e a esquerda é negativo. Tudo bem até aqui?

Repetimos o mesmo cálculo da letra a, porém agora com x variando de – 0,05m até 0.

Resolveremos a integral e substituiremos os valores!

Passo 4

Temos então,

Integrando,

É importante lembrar que quando tem – se um número negativo elevado a um valor n, se n for impar o numero permanece com o sinal de negativo mas caso n seja par, o número fica positivo. Assim, teremos:

Passo 5

Analisando a equação de Hooke, , temos que o termo quadrático –bx2 sempre determinará para um valor de –x enquanto os demais termos juntos terão mais “peso” dentro do calculo, ou seja, o valor de –bx2 ele será pouco significativo. Logo será necessária uma força menor para esticar a mola e consequentemente um trabalho menor também.

Resposta

É mais fácil esticar a mola já que dispõe de um valor menor de trabalho.

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