Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 68

Considere uma certa mola que não obedece rigorosamente à lei de Hooke. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada a uma distancia x , é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo O x com modulo dado por F x   =   k x   –   b x 2   + c x 3 . Aqui, k   =   100   N / m , b   =   700   N / m 2 e c   =   12000   N / m 3 . Note que para x   >   0 , a mola está esticada e para x   <   0 a mola está comprimida.

a)Qual o trabalho necessário para esticar essa mola 0,05 m a partir do seu comprimento sem deformação?

b)Qual o trabalho necessário para comprimir essa mola 0,05   m a partir do seu comprimento sem deformação?

c)É mais fácil comprimir ou esticar essa mola? Explique por que, em termos da dependência de F x   com   x . (Muitas molas reais se comportam qualitativamente do mesmo modo.)

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão como o deslocamento da mola varia do ponto de equilíbrio no qual x   =   0 até x   =   0,05   m , o trabalho ( W ) relaciona-se como:

    2. W = ∫ x 1 x 2 F x   d x

    Substituindo F x   =   k x   –   b x 2   + c x 3 na expressão acima e usando os intervalos como x 1   =   0 e x 2   =   0,05 temos:

    W = ∫ 0 0,05 k x – bx2 + cx3 dx

    Separando cada termo em uma integral diferente para que fique mais simples o cálculo, teremos: (Importante que os intervalos sejam mantidos em todas integrais.)

      W = ∫ 0 0,05 k x   d x   -   ∫ 0 0,05 b x 2   d x   +   ∫ 0 0,05 c x 3   d x

    Agora é só resolver a integral e substituir os valores!

    Passo 2

    Integrando,

    W = ∫ 0 0,05 k x   d x   -   ∫ 0 0,05 b x 2   d x   +   ∫ 0 0,05 c x 3   d x

    Temos,

    W   =   k   x 2 2     -   b x 3 3   +   c x 4 4 | 0 0,05

    W   =   100   ( 0,05 2 -   0 2 ) 2   –   700 ( 0,05 3 -   0 3 ) 3   +   12000 ( 0,05 4 -   0 4 ) 4

    W   =   0,125   –   0,029   +   0,019

    W   =   0,115   J

    Passo 3

  2. Agora a mola é comprimida a uma distancia 0,05m do ponto de equilíbrio logo a mola desloca – se para a esquerda de zero e x terá valor negativo. É análogo ao sistema cartesiano, tudo a direita de 0 no eixo x é positivo e a esquerda é negativo. Tudo bem até aqui?

    3. Repetimos o mesmo cálculo da letra a, porém agora com x variando de – 0,05m até 0.

    W   =   ∫ - 0,05 0 k x   –   b x 2   +   c x 3   d x

    Resolveremos a integral e substituiremos os valores!

    Passo 4

    Temos então,

    W   =   ∫ - 0,05 0 k x   d x   -   ∫ - 0,05 0 b x 2   d x   +   ∫ - 0,05 0 c x 3   d x

    Integrando,

    W   =   100   ( 0 -   ( - 0,05 2 ) ) 2   –   700 ( 0 3 -   ( - 0,05 3 ) ) 3   +   12000 ( 0 4 -   ( - 0,05 4 ) ) 4

    É importante lembrar que quando tem – se um número negativo elevado a um valor n, se n for impar o numero permanece com o sinal de negativo mas caso n seja par, o número fica positivo. Assim, teremos:

    W   =   100 ( 0 - + 0,0025 ) 2   -   700 ( 0 - ( - 0,000125 ) 3   +   12000 ( 0 - + 0,00000625 ) 4

    W   =   - 0,125   –   0,029   –   0,019

    W   =   -   0,173   J

    Passo 5

  3. Analisando a equação de Hooke, F x   =   k x   –   b x 2   + c x 3 , temos que o termo quadrático –bx2 sempre determinará para um valor de –x enquanto os demais termos juntos terão mais “peso” dentro do calculo, ou seja, o valor de –bx2 ele será pouco significativo. Logo será necessária uma força menor para esticar a mola e consequentemente um trabalho menor também.

Resposta

  1. W   =   0,115   J
  2. W   =   -   0,173   J
  3. É mais fácil esticar a mola já que dispõe de um valor menor de trabalho.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

34. Uma máquina de Atwood, consiste em duas massas, m 1 e m 2 , e uma polia sem massa e sem atrito. Partindo do repouso, a rapidez das duas massas chega a 4,0m / s ao final de 3,0s . Nesse tempo, a en
Você foi designado para projetar pára-choques com molas para as paredes de uma garagem de estacionamento. Um carro de 1200 kg se movendo a 0,65 m/s não pode comprimir as molas mais do que 0,070 m ante
Considere o sistema indicado na Figura 6.37. A corda e a polia possuem massas desprezíveis, e a polia não tem atrito. Inicialmente, o bloco de 6,0 kg desloca-se verticalmente para baixo e o bloco de 8
Um sistema formado por duas lâminas delgadas de mesma massa m, presas por uma mola de constante elástica k e massa desprezível, encontra-se sobre uma mesa horizontal (veja Fig.). a) De que distância a