Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 19.Exercícios e Problemas - Ex. 13
Considere um conjunto de bolas de sinuca, com raio de , paradas e dispersas de forma aleatória sobre uma mesa de jogo, com uma densidade de bolas por .
a) Qual é o livre percurso médio de uma bola adicional posta a rolar sobre a mesa?
b) Qual é a probabilidade de essa bola cruzar o comprimento da mesa () sem nenhuma colisão?
Sugestão: considere o resultado de 19.12P.
Passo 1
Fala pessoal, beleza?
No exercício anterior (19.12P), nós deduzimos a expressão para o livre caminho dessa situação com as bolas de bilhares espalhadas na mesa. O resultado encontrado foi
Nessa expressão, é o raio das bolas e é a densidade de bolas por unidade de área. Com isso, basta substituir na fórmula é pronto:
Portanto, o livre caminho médio é
Esse número representa a distância média percorrida pela bola entre cada colisão, isto é,
Se você quiser pular toda a digressão que vem a seguir, vai direto para a última equação do passo 3 em que eu apresento a função densidade de probabilidade de a bola percorrer uma distância antes de uma colisão.
Passo 2
Para resolver o item (b) vamos usar a equação 19.20 da probabilidade de voo livre:
Essa equação dá a probabilidade dá colisão ocorrer após um tempo . Podemos escrever uma versão análoga dessa expressão considerando distância:
Nessa expressão, é uma constante de normalização de modo que
Temos também que é uma constante com dimensão de comprimento. Em instante vamos discutir com calma quem será esse . Mas antes vamos olhar para a constante de normalização:
Assim,
Portanto,
Passo 3
Agora vamos discutir um pouco sobre quem é essa constante . Para isso, vamos calcular o valor médio de :
Para fazer essa integral vamos usar integração por partes:
Vamos chamar e , de modo que
Com isso,
O primeiro termo do lado direito da equação será nulo pois
Com isso, temos que
Mas a integral do lado direito já foi calculada no passo 2 e seu resultado foi , de modo que
Com isso, o valor esperado de será
Mas agora vai dar uma olhadinha no final do passo 1. O livre percurso médio é justamente o valor esperado de , de modo que essa constante é simplesmente :
Usaremos essa expressão final para resolver o item (b).
Passo 4
Agora que temos a densidade de probabilidade, basta integrar entre o intervalo considerado que temos a probabilidade!
Queremos que a bola percorra uma distância maior ou igual a , isto significa que queremos calcular
Fazendo a integral, temos
Com isso,
Isso significa que a probabilidade é aproximadamente :
Ufa, terminamos o problema!