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Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - Ed: 5º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 30

Considere as coordenadas polares do ponto ( x ,   y ) como ( r ,   θ ) . Determine as coordenadas polares para os pontos:

a) ( – x ,   y )

b) ( – 2 x ,   – 2 y )

c) 3 x ,   – 3 y

Passo 1

Belezinha pessoal. Vamos começar a transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas polares.

Primeiro vamos lembrar que as coordenadas cartesianas são representadas por ( x , y ) e as coordenadas polares por ( r , θ ) . Podemos usar a seguinte relação

x = r c o s θ

y = r   s e n θ

Para encontrarmos o valor de r , vamos utilizar a seguinte equação.

r = x 2 + y 2              

Passo 2

  1. - x , y   Considerando x = - 1   e   y = 1  

    2. r = x 2 + y 2              

    r = ( - 1 ) 2 + ( 1 ) ²

    r = 2

    Agora temos que calcular o valor de θ

    – x ,   y = ( r c o s θ , r s e n θ )

    Considerando x = 1   e   y = 1 , temos

    – 1 ,   1 = ( r c o s θ , r s e n θ )

    Encontrando c o s θ

    - 1 = r   c o s θ

    - 1 = ( 2 )   c o s θ

    c o s θ = - 1 2

    c o s θ = - 1 2 . 2 2

    cos ⁡ θ = - 2 2

    θ = 3 π 4

    Encontrando s e n θ

    1 = r   s e n θ

    1 = 2 s e n θ

    s e n   θ = 1 2

    s e n   θ = 1 2 . 2 2 = 2 2

    sen ⁡ θ = 2 2

    θ = 3 π 4

    Substituindo em ( r , θ ) , temos

    2 ,   3 π 4

    Passo 3

  2. - 2 x , - 2 y   Considerando x = - 2   e   y = - 2  

r = x 2 + y 2              

r = ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) ²

r = 2 2

Agora temos que calcular o valor de θ

– x ,   - y = ( r c o s θ , r s e n θ )

Considerando x = - 2   e   y = - 2 , temos

– 2 ,   - 2 = ( r c o s θ , r s e n θ )

Encontrando c o s θ

- 2 = r   c o s θ

- 2 = ( 2 2 )   c o s θ

c o s θ = - 2 2 2

c o s θ = - 1 2

c o s θ = - 1 2 . 2 2

cos ⁡ θ = - 2 2

θ = 3 π 4

Encontrando s e n θ

- 2 = r   s e n θ

- 2 = 2 2 s e n θ

s e n   θ = - 2 2 2

s e n   θ = 1 2 . 2 2

sen ⁡ θ = - 2 2

θ = 3 π 4

Substituindo em ( r , θ ) , temos

2 2 ,   3 π 4

Passo 3

  1. 3 x , - 3 y   Considerando x = 3   e   y = - 3  

r = x 2 + y 2              

r = ( 3 ) 2 + ( 3 ) ²

r = 3 2

Agora temos que calcular o valor de θ

3 , - 3 = ( r c o s θ , r s e n θ )

Considerando x = 3   e   y = - 3 , temos

3 ,   - 3 = ( r c o s θ , r s e n θ )

Encontrando c o s θ

3 = r   c o s θ

3 = ( 3 2 )   c o s θ

c o s θ = 3 3 2

c o s θ = 1 2

c o s θ = 1 2 . 2 2

cos ⁡ θ = 2 2

θ = 3 π 4

Encontrando s e n θ

- 3 = r   s e n θ

- 3 = 3 2 s e n θ

s e n   θ = - 3 3 2

s e n   θ = - 1 2 . 2 2

sen ⁡ θ = - 2 2

θ = 3 π 4

Substituindo em ( r , θ ) , temos

3 2 ,   3 π 4

Resposta

  1. 2 ,   3 π 4
  2. 2 2 ,   3 π 4
  3. 3 2 ,   3 π 4
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