Considere uma corda esticada que tem uma massa por unidade de comprimento μ 1 carregando pulsos de onda transversal da forma y = f ( x - v 1 t ) que são incidentes em um ponto P em que a corda se conecta a uma segunda corda com massa por unidade de comprimento μ 2 . Derive 1 = r 2 + ( v 1 / v 2 ) r 2 igualando a potência incidente no ponto P à potência refletida em P mais a potência transmitida em P.

Passo 1

Pela conservação de energia, a potência transmitida é igual à incidente mais a refletida:

P t = P i n + P r

Podemos escrever a potência em relação à segunda derivada da função da onda y:

P = - F T ∂ y ∂ x ∂ y ∂ x

Onde F T é a força de tração na corda.

Passo 2

Substituindo P para cada potência da primeira equação:

- F T ∂ y t ∂ x ∂ y t ∂ t = - F T ∂ y i n ∂ x ∂ y i n ∂ t - F T ∂ y r ∂ x ∂ y r ∂ t

Simplificando:

∂ y t ∂ x ∂ y t ∂ t = ∂ y i n ∂ x ∂ y i n ∂ t + ∂ y r ∂ x ∂ y r ∂ t

Passo 3

Como o pulso incidente é dado por:

y = f ( x - v 1 t )

Os pulsos transmitido e refletido serão:

y r = r f ( - x - v 1 t )

y t = τ f v 1 v 2 x - v 1 t

Passo 4

Chamaremos o argumento da função de pulso transmitido de η :

η = - x - v 1 t

Pela regra da cadeia, podemos expressar a derivada de y em relação a x e a t através da derivada do argumento que escrevemos acima:

∂ y t ∂ x = r d f d η ∂ η ∂ x = r d f d η ∂ ∂ x - x - v 1 t = - r d f d η

∂ y t ∂ t = r d f d η ∂ η ∂ t = r d f d η ∂ ∂ t - x - v 1 t = r d f d η - v 1 = - v 1 r d f d η

Agora usando η para escrevemos o argumento do pulso refletido:

η = v 1 v 2 x - v 1 t

Ficaremos com as seguintes derivadas:

∂ y r ∂ x = τ d f d η ∂ η ∂ x = τ d f d η ∂ ∂ x v 1 v 2 x - v 1 t = τ d f d η v 1 v 2

∂ y r ∂ t = τ d f d η ∂ η ∂ t = τ d f d η ∂ ∂ t v 1 v 2 x - v 1 t = τ d f d η - v 1 = - v 1 τ d f d η

E de novo, usando η para o argumento do pulso incidente:

η = x - v 1 t

∂ y i n ∂ x = d f d η ∂ η ∂ x = d f d η ∂ ∂ x x - v 1 t = d f d η

∂ y i n ∂ t = d f d η ∂ η ∂ t = d f d η ∂ ∂ t x - v 1 t = d f d η - v 1 = - v 1 d f d η

Passo 5

Por fim, substituindo cada resultado das derivadas lá na equação do Passo 2:

τ d f d η v 1 v 2 - v 1 τ d f d η = d f d η - v 1 d f d η + - r d f d η - v 1 r d f d η

Simplificando d f d η :

τ v 1 v 2 - v 1 τ = - v 1 + - r - v 1 r

E simplificando e rearranjando os termos restantes:

1 = r 2 + τ 2 v 1 v 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados