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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 79

Considere um corpo rígido constituído por uma placa plana fina de forma arbitrária. Suponha que o corpo esteja sobre o plano xy e imagine que a origem seja um ponto O no interior ou no exterior do corpo. Seja Ix o momento de inércia em relação ao eixo Ox, Iy o momento de inércia em relação ao eixo Oy e IO o momento de inércia do corpo em relação a um eixo perpendicular ao plano e passando pelo ponto O. a) Considerando elementos de massa mi com coordenadas (xi, yi), mostre que . Essa relação é o teorema dos eixos perpendiculares. Note que o ponto O não precisa ser o centro de massa. b) Para uma arruela fina de massa M, raio interno R1 e raio externo R2, use o teorema dos eixos perpendiculares para achar o momento de inércia em relação a um eixo situado no plano da arruela e que passa através de seu centro. Você pode usar as informações da Tabela 9.2. c) Use o teorema dos eixos perpendiculares para mostrar que o momento de inércia de uma placa fina quadrada de massa M e lado L em relação a qualquer eixo situado no plano da placa e que passa através de seu centro é igual a ML2. Você pode usar as informações da Tabela 9.2.

Passo 1

  1. Para resolver esta parte do problema estaremos aplicando uma equação que determina o momento de inércia total que é expresso pela seguinte relação para provar a teoria dos eixos perpendiculares:

    2. I O = ∑ m i r i 2

    Já a distância do eixo de rotação, neste caso particular, pode ser expressa como:

    r i = x i 2 + y i 2

    Portanto, a equação que determina o momento de inércia total será reduzida como (o que provará o exigido):

    I O = ∑ m i x i 2 + y i 2

    = ∑ m i x i 2 + ∑ m i y i 2

    = I x + I y

    Passo 2

  2. Para resolver esta parte do problema, vamos supor que o momento de inércia em relação ao eixo de rotação que está colocado no plano da arruela, segundo a teoria dos eixos perpendiculares será dado por:

    3. I = m 2 R 1 2 + R 2 2

    Isso ocorre porque os momentos de inércia em torno dos eixos x e y são dados como:

    I x = m 4 R 1 2 + R 2 2

    I y = m 4 R 1 2 + R 2 2

    Passo 3

  3. Para resolver esta parte do problema, temos que provar que o momento de inércia em torno de um eixo de rotação que está em uma determinada folha plana e está passando pelo seu centro.

Visto que, neste caso particular, os momentos de inércia de cada lado serão dados como:

I 1 = 1 6 m 1 L 2

I 2 = 1 6 m 1 L 2

Portanto, o momento de inércia total será a soma desses dois e será calculado como:

I = 1 6 m 1 L 2 + 1 6 m 1 L 2

= 1 12 m L 2

Resposta

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