Considere o modelo bidimensional para a expansão do universo um balão esférico (Figura 44.16 na Seção 44.6). A menor distância entre dois pontos da superfície, medida ao longo da superfície, é o comprimento de arco , onde . À medida que o balão se expande, seu raio cresce, porém o ângulo entre dois pontos permanece constante. (a) Explique por que, em qualquer instante ( apresenta o mesmo valor em todos os pontos da superfície do balão. (b) Mostre que é diretamente proporcional a em qualquer instante. (c) Usando sua resposta do item (b), qual é a expressão da constante de Hubble em termos de e de ? (d) A expressão de que você obteve no item (c) é constante no espaço. Como deveria depender em relação ao tempo para que seja constante no tempo? (e) Sua resposta no item (d) é compatível com a atração gravitacional da matéria existente no universo?

(b) Agora temos que calcular . O enunciado já falou qual é a relação entre e :

Ou seja, a distância entre os pontos na superfície é comprimento de um arco de raio e ângulo .

Então como fica ?

Supondo que permaneça constante (a distância angular entre dois pontos não muda conforme o balão infla!) Então:

E usando a expressão que mencionamos lá no item (a):

Ou seja:

E como :

Ou seja, é sempre diretamente proporcional a !

(c) Agora a gente está procurando uma expressão para a constante de Hubble (estamos usando o símbolo !) em termos de e .

Sem problemas! É só voltar na fórmula que nós usamos ali em cima:

E então:

Essa é a expressão para a constante de Hubble.

(d) Agora vamos ver o que acontece quando procuramos uma expressão para .

Pela relação ali de cima:

Mas isso é uma equação diferencial! Vamos separar as variáveis:

Integrando os dois lados, com indo de até e into de até :

A integral do lado esquerdo vai dar , então:

Lembrando que :

E agora aplicando a exponencial dos dois lados:

E finalmente:

Beleza, chegamos a uma expressão que dá o raio em função do tempo, com constante.

(e) Agora vamos pensar um pouco nas conclusões desses últimos itens.

A gente viu que a constanta de Hubble seria constante nesse universo. Mas será que isso faz sentido nesse caso?

A constante de Hubble controla um parâmetro muito importante na expansão do universo. A densidade crítica:

Quando a densidade média do universo for maior que a densidade crítica, o universo vai começar a frear a expansão e então contrair.

Porém, conforme o universo se expande, e a quantidade de matéria nele continua a mesma, a tendência é que a densidade média diminua.

Então, se for constante, eventualmente a densidade vai ser menor do que , e a expansão vai parar!

Isso quer dizer que uma constante de Hubble que não varia no tempo não é consistente com um universo com expansão uniforme.