Enunciado
Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 44.Problemas - Ex. 58
Suponha que todas as condições indicadas no problema 44.57 sejam as mesmas, exceto que seja constante para um dado , em vez de considerar constante no tempo. Assim, mostre que a constante de Hubble é dada por e que, portanto, o valor atual é , onde é a idade do universo.
Problema 44.57: Considere o modelo bidimensional para a expansão do universo um balão esférico (Figura 44.16 na Seção 44.6). A menor distância entre dois pontos da superfície, medida ao longo da superfície, é o comprimento de arco , onde . À medida que o balão se expande, seu raio cresce, porém o ângulo entre dois pontos permanece constante. (a) Explique por que, em qualquer instante ( apresenta o mesmo valor em todos os pontos da superfície do balão. (b) Mostre que é diretamente proporcional a em qualquer instante. (c) Usando sua resposta do item (b), qual é a expressão da constante de Hubble em termos de e de ? (d) A expressão de que você obteve no item (c) é constante no espaço. Como deveria depender em relação ao tempo para que seja constante no tempo? (e) Sua resposta no item (d) é compatível com a atração gravitacional da matéria existente no universo?
Passo 1
(a) O nosso objetivo é encontrar uma expressão para a constante de Hubble.
Então vamos lembrar da fórmula mais simples que temos para ela:
E também sabemos que esse raio se relaciona com as distâncias por essa fórmula aqui:
E as velocidades de separação entre os pontos são:
Vamos começar procurando uma relação entre essas grandezas.
Passo 2
Vamos começar substituindo em :
Aplicando a regra do produto:
Mas vamos considera constante, como o enunciado sugeriu, então:
Nesse caso:
Beleza, agora vamos jogar isso lá na fórmula da constante de Hubble.
Passo 3
A expressão é a seguinte:
Substituindo a fórmula que a gente demonstrou ali em cima:
Mas esse produto que apareceu no denominador é , então:
Isolando :
Mas esse termo aí do lado esquerdo é o que foi dado no enunciado, então:
Passo 4
Beleza, agora vamos substituir nessa última fórmula. A ideia é ter uma expressão bem completa para o :
Pela sugestão do enunciado, vamos usar:
Ou seja:
Está falando um nessa expressão! É só lembrar que :
Ok, mas o que isso quer dizer? Bom, se tem derivada zero em relação a , então essa fração é igual a alguma constante :
Ou seja:
Fazendo um integraçãozinha bem rápida dos dois lados:
Ok, estamos quase lá.
Passo 5
Já que a gente quer chegar em , vamos usar essa relação aqui mais uma vez:
Substituindo os dois ’s com a expressão ali de cima:
E resolvendo essa derivada:
Pronto! Chegamos na expressão do enunciado.
Usando essa expressão a gente poderia calcular o valor atual da constante de Hubble:
Onde é idade atual do universo.
Resposta
Demonstração.