Suponha que todas as condições indicadas no problema 44.57 sejam as mesmas, exceto que seja constante para um dado , em vez de considerar constante no tempo. Assim, mostre que a constante de Hubble é dada por e que, portanto, o valor atual é , onde é a idade do universo.

Problema 44.57: Considere o modelo bidimensional para a expansão do universo um balão esférico (Figura 44.16 na Seção 44.6). A menor distância entre dois pontos da superfície, medida ao longo da superfície, é o comprimento de arco , onde . À medida que o balão se expande, seu raio cresce, porém o ângulo entre dois pontos permanece constante. (a) Explique por que, em qualquer instante ( apresenta o mesmo valor em todos os pontos da superfície do balão. (b) Mostre que é diretamente proporcional a em qualquer instante. (c) Usando sua resposta do item (b), qual é a expressão da constante de Hubble em termos de e de ? (d) A expressão de que você obteve no item (c) é constante no espaço. Como deveria depender em relação ao tempo para que seja constante no tempo? (e) Sua resposta no item (d) é compatível com a atração gravitacional da matéria existente no universo?

Vamos começar substituindo em :

Aplicando a regra do produto:

Mas vamos considera constante, como o enunciado sugeriu, então:

Nesse caso:

Beleza, agora vamos jogar isso lá na fórmula da constante de Hubble.

A expressão é a seguinte:

Substituindo a fórmula que a gente demonstrou ali em cima:

Mas esse produto que apareceu no denominador é , então:

Isolando :

Mas esse termo aí do lado esquerdo é o que foi dado no enunciado, então:

Beleza, agora vamos substituir nessa última fórmula. A ideia é ter uma expressão bem completa para o :

Pela sugestão do enunciado, vamos usar:

Ou seja:

Está falando um nessa expressão! É só lembrar que :

Ok, mas o que isso quer dizer? Bom, se tem derivada zero em relação a , então essa fração é igual a alguma constante :

Ou seja:

Fazendo um integraçãozinha bem rápida dos dois lados:

Ok, estamos quase lá.

Já que a gente quer chegar em , vamos usar essa relação aqui mais uma vez:

Substituindo os dois ’s com a expressão ali de cima:

E resolvendo essa derivada:

Pronto! Chegamos na expressão do enunciado.

Usando essa expressão a gente poderia calcular o valor atual da constante de Hubble:

Onde é idade atual do universo.