Uma conta de massa m enfiada num aro vertical fixo de raio r , no qual desliza sem atrito, desloca-se em torno do ponto mais baixo, de tal forma que o ângulo θ permanece pequeno. Mostre que o movimento é harmônico simples e calcule o período.

Passo 1

Vamos começar representando as forças que agem sobre o sistema:

Agora vamos tentar montar uma equação que dê o ângulo θ em função do tempo.

Aplicando a segunda lei de Newton na direção tangencial, temos o seguinte:

F = - P sen ⁡ θ

m a = - P sen ⁡ θ

E podemos escrever a aceleração na extremidade do círculo como:

a = r θ ¨

Então:

m r θ ¨ = - m g sen ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos resolver essa equação:

m r θ ¨ = - m g sen ⁡ θ

Segundo o enunciado, o ângulo θ permanece pequeno, então podemos usar a seguinte aproximação:

sen ⁡ θ ≅ θ

m r θ ¨ = - m g θ

θ ¨ + g r θ = 0

Essa é a EDO de um oscilador harmônico simples! A frequência angular desse oscilador é:

ω = g r

Então o período é:

T = 2 π ω

T = 2 π r g

Resposta

O movimento é harmônico simples e tem período T = 2 π r g .

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