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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 16.1 - Ex. 68

Uma corda de 35   m de comprimento possui uma massa específica linear de 0,0085   k g / m e sofre uma tração de 18   N . Determine as frequências dos quatro primeiros harmônicos (a) se a corda está fixa nas duas extremidades e (b) se a corda está fixa em uma extremidade e livre na outra. (Isto é, se a extremidade livre está ligada a um cordão longo de massa desprezível.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item (a):

Relacionando a frequência do harmônico com o comprimento de onda e a velocidade, temos:

f n = v λ n

A condição padrão da onda para a corda com as duas extremidades fixas é dada por:

L = n λ n 2 ,   n = 1,2 , 3 , …

λ n = 2 L n

Substituindo, temos:

f n = n v 2 L

A velocidade da onda transversal é dada por:

v = F T μ

Portanto:

f n = n 2 L F T μ

Substituindo os valores, temos:

f n = n 2 ( 35   m ) 18   N 0,0085   k g / m

f n = n ( 0,657   H z )

Para os quatro primeiro harmônicos, temos:

f 1 = 1 0,657   H z = 0,657   H z

f 2 = 2 0,657   H z = 1,3   H z

f 3 = 3 0,657   H z = 2   H z

f 4 = 4 0,657   H z = 2,6   H z

Passo 2

Item (b):

Para resolver este item, temos que adotar outra condição padrão da onda, que seria para a corda fixada em uma extremidade:

L = n λ n 4 ,   n = 1,3 , 5 , …

λ n = 4 L n

Portanto a frequência de ressonância será:

f n = n 4 L F T μ

Substituindo os valores, temos:

f n = n 4 ( 35   m ) 18   N 0,0085   k g / m

f n = n ( 0 , 3287   H z )

Para os quatro primeiro harmônicos, temos:

f 1 = 1 ( 0,3287   H z ) = 0,3287   H z

f 2 = 3 ( 0,3287   H z ) = 0,99   H z

f 3 = 5 ( 0,3287   H z ) = 1,6   H z

f 4 = 7 ( 0,3287   H z ) = 2,3   H z

Resposta

a ) f 1 = 0,657   H z

f 2 = 1,3   H z

f 3 = 2   H z

f 4 = 2,6   H z

b ) f 1 = 0,3287   H z

f 2 = 0,99   H z

f 3 = 1,6   H z

f 4 = 2,3   H z

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