Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 16.2 - Ex. 18
A corda mais pesada e a corda mais leve de um certo violino têm uma massa específica linear de e , respectivamente. Qual é a razão entre o diâmetro da corda mais leve e o da corda mais pesada, supondo que as cordas são feitas do mesmo material.
Passo 1
Salve salve galerinha do RespodenAí, tudo belejóia?
Nesse exercício, o enunciado nos diz que uma corda mais pesada e uma corda mais leve de um certo violino têm uma massa especifica de e , respectivamente. Sabendo disso, ele quer que a gente encontre qual é a razão entre o diâmetro da corda mais leve e o da corda mais pesada, supondo que as cordas são feitas do mesmo material.
Bom, vamos pensar nas cordas como sendo cilindros. Nesse caso, o diâmetro é esse comprimento aqui:
E a fórmula da massa específica linear é dada como:
Onde é a massa da corda, e é o comprimento.
O problema é que a como as duas cordas são feitas do mesmo material, e o mesmo comprimento (pra poderem caber no mesmo violino), a única forma de as densidades serem diferentes é se uma corda for mais grossa que a outra.
Passo 2
Então tá, de alguma forma temos que fazer o diâmetro aparecer na fórmula da massa específica linear.
Belezoca, se considerarmos a massa específica volumétrica (massa sobre volume), a fórmula fica assim:
Então:
Mas o volume de um cilindro é:
E no nosso caso, a “altura” do cilindro vai ser o comprimento da corda. Além disso, vamos trocar o raio pela metade do diâmetro, já que é nele que a questão está interessada:
E agora trocando isso na fórmula de cima:
E substituindo na fórmula do passo :
Passo 3
Ok, agora vamos ver como fica a razão entre as duas massas específicas lineares (vamos chama-las de e ).
Como as cordas são feitas do mesmo material, a massa específica volumétrica é a mesma, e a única diferença vai estar no diâmetro:
Cortando tudo o que for possível:
Pronto, agora chegamos em uma fórmula para a razão entre os diâmetros:
Aqui nós queremos a razão entre o diâmetro da corda mais leve pelo diâmetro da corda mais pesada, por isso vai ser referente a mais leve e vai ser referente a mais pesada.
Da mesma forma, é a densidade linear da mais leve e vai ser a densidade linear da mais pesada , logo:
Prontinho!
Resposta
A razão é