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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 15.Exercícios - Ex. 20

Uma corda pesada, com 6,00 m de extensão e 29,4 N de peso, é presa em uma extremidade a um teto e pendurada verticalmente. Uma massa de 0,500 kg é suspensa pela extremidade inferior da corda. Qual é a velocidade das ondas que se propagam pela corda (a) em sua extremidade inferior; (b) no meio; (c) em sua extremidade superior? (d) A tensão no meio da corda é a média das tensões em suas extremidades superior e inferior? A velocidade de onda no meio da corda é a média das velocidades de onda em suas extremidades superior e inferior? Explique.

Passo 1

Falaaaa moçadinha, show de bola?

Como diz o Homem de ferro “Eu tenho um plano. Ataque!”

Bora atacar esse problemaaaaaaa junto comigoo.

  1. Usaremos neste problema a equação da velocidade da onda em função dos parâmetros relativos ao meio, isto é, densidade linear e a tensão da corda. Devemos nos atentar que o fato de a corda ter massa faz com que a tensão varie em cada ponto, e, consequentemente, a velocidade em cada ponto. Temos:

    2. v y = F y μ

    Note que a tensão da corda em um ponto terá mesma intensidade do peso da porção da corda situada abaixo daquele ponto. Orientando o eixo para cima e com origem na extremidade inferior da corda, sendo na massa presa na extremidade, a tensão em y será dada por:

    F y = m + ∫ 0 y μ d y g

    Passo 2

    Considerando que a corda tenha uma distribuição uniforme de massa, μ constante, teremos que a tensão será

    F y = m g + μ g y

    Sendo M a massa da corda e l o comprimento

    μ = M l

    Substituindo

    F y = m g + M g y l

    Sendo P o peso da corda, a velocidade de onda é dada como:

    v y = m g μ + g y

    = m g l M + g y  

    v y = m g 2 l P + g y  

    Passo 3

    Agora iremos substituir os valores para y

    Portanto, para y = 0 , temos

    v y = m g 2 l P + g y  

    = 0.5 ⋅ 9,8 2 ⋅ 6 29,4  

    = 3,13   m / s

    Logo a velocidade da onda na extremidade inferior é de 3,13   m / s .

    Passo 4

  2. Vamos resolver este item usando a equação demonstrada no passo 3

    3. v y = m g 2 l P + g y  

    v y = v ( 0 ) 2 + g y

    Para y = l / 2

    v y = v ( 0 ) 2 + 1 2 y

    = 3,13 2 + 1 2 ⋅ 9.8 ⋅ 6

    = 6,26   m / s

    Logo a velocidade no meio da corda é de 6,26   m / s ..

    Passo 5

  3. Vamos resolver este item usando a equação demonstrada no passo 4

    4. v y = v ( 0 ) 2 + g y

    Para y = l

    v y = 3,13 2 + 9.8 ⋅ 6

    v y = 8,28   m / s

    Logo a velocidade na extremidade superior da corda é de 8,28   m / s .

    Passo 6

  4. Iremos calcular a média aritmética das velocidades e tensões nas extremidades inferiores e superiores.

Para o caso da tensão, vamos aplicar a equação da tensão da corda em um ponto:

F y = m g + μ g y

Para os pontos y = 0 ,   y = l   e   y = l / 2

F 0 = m g

F l = m g + μ g l

F l 2 = m g + 1 2 μ g l

A média das trações nas extremidades inferiores e superiores é

1 2 F 0 + F l = 1 2 m g + m g + μ g l  

= m g + 1 2 μ g l

= F ( l / 2 )

Passo 2

Já a média das velocidades é

1 2 v 0 + v ( t ) = 1 2 3,13 + 8,28 m / s

= 5,7 m s ≠ v l 2

Logo, a tensão no meio é igual a média das tensões das duas extremidades da corda, mas a velocidade no meio não é igual a média das velocidades das extremidades da corda.

“Às vezes é preciso aprender a correr antes de começar a andar”

Resposta

  1. Logo a velocidade da onda na extremidade inferior é de 3,13   m / s .
  2. Logo a velocidade no meio da corda é de 6,26   m / s .
  3. Logo a velocidade na extremidade superior da corda é de 8,28   m / s .
  4. Logo, a tensão no meio é igual a média das tensões das duas extremidades da corda, mas a velocidade no meio não é igual a média das velocidades das extremidades da corda.

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