Uma corda uniforme de massa e comprimento está pendurada em um teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é função de , a distância da extremidade inferior, e é dada por , (b) Mostre que o tempo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é dado por .

Então tá, vamos imaginar um ponto que esteja a uma distância da ponta solta da corda. Quais forças agem sobre ele?

Bom, pra começar, a gente sabe que o ponto está parado, então a soma das forças tem que ser zero.

Puxando ele pra baixo, tem o peso de toda a parte da corda que está abaixo dele. Como calculamos esse peso?

Mas a massa é simplesmente o produto , ou seja, a massa específica linear vezes o comprimento abaixo do ponto:

Ok, e puxando ele pra cima? Bom, tem uma tensão exercida pela parte de cima da corda, que tem que ser igual a esse peso pra manter o equilíbrio, ou seja:

Agora vamos substituir isso na fórmula da velocidade:

Pronto, está provado o que a questão pediu.

(b) Agora queremos saber quando tempo uma onda leva pra atravessar a corda (de comprimento ).

Preste atenção no seguinte, a fórmula que acabamos de achar diz que a velocidade não é constante ao longo da corda! Quando mais longe da ponta solta, mais rápida a onda é.

Então não podemos usar uma fórmula como essa:

Por que essa fórmula só vale quando a velocidade é constante, ou quando queremos a velocidade escalar média mesmo.

Então o que resta? Já que a velocidade muda a cada instante, vamos lembrar a fórmula da velocidade instantânea:

Vamos colocar um no lugar de , só pra manter a nomenclatura, e reorganizar a fórmula:

Agora integrando dos dois lados, o termo da esquerda vai virar o intervalo de tempo que queremos, e o terceiro vai ser uma integral definida de até :

Agora vamos resolver essa integral!

Primeiro tirando a constante:

Agora vamos escrever a raiz de outro jeito pra ficar mais fácil de integral:

Agora é só seguir a regra geral pra integrar uma potência:

E então:

Pronto! Provamos a outra fórmula.