Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 16.7 - Ex. 52
Uma corda sujeita a uma tensão de e fixa nas duas extremidades oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocarnento da corda é dado por
Onde em uma das extremidades da corda, está em metros e está em segundos. Qual é (a)o comprimento da corda, (b)a velocidade das ondas na corda e (c)a massa da corda? (d)Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual é o período de oscilação?
Passo 1
Show de bolinhas pessoal, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que uma corda sujeita a uma tração , fixa nas duas extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. E sabendo que o deslocamento da corda é dado como:
Em que é uma das extremidades das cordas, o enunciado nos pede para calcular, na letra (a), o comprimento da corda.
Belezoca, então primeiro de tudo vamos entender o que significa a corda oscilar no segundo harmônico. Precisamos lembrar que quando uma corda está fixa em suas duas extremidades, e por ela oscila uma onda estacionária no harmônico, temos que seu comprimeto é dado como:
Onde é o número do harmônico em que a corda está oscilando e é o comprimento de onda! Sendo assim, vamos obter que o tamanho da corda será:
Iradoso, isso quer dizer que se a gente encontrar o comprimento de onda , podemos determinar o valor de . Então bora lá!
Passo 2
Belejóia, o valor de a gente consegue encontrar a partir da relação com o número de onda , dada como:
E malandragem de usar essa relação, é que a forma da equação de onda que nos é dada te essa informação de :
Onde é o número que acompanha o , sendo assim:
Logo:
Então isolando :
Passo 3
Maravilha, agora na letra (b), a velocidade é encontrada a partir dessa equação aqui:
Já sabemos quem é , então precisamos determinar o valor de . E aqui a gente pode ser malandro mais uma vez.
Afinal, na função de onda, se é o valor que acompanha o , o valor que acompanha o tempo será a frequência angular , que possui relação com a frequência através da fórmula:
E como a função de onda nos fornece que , obtemos que:
Então isolando :
Prontinho, depois de toda essa bagunça, podemos substituir esse valor na equação da velocidade, tal que:
Passo 4
Belezinha, agora na letra (c), como queremos encontrar a massa , vamos precisar de uma equação que relaciona ela com outras grandezas que já conhecemos, pra isso podemos utilizar essa daqui:
Onde é a tensão na corda, enquanto que é a densidade linear, que é justamente ela que se relaciona com a massa através da equação:
Entao substituindo esses valores na equação, com , obtemos:
Logo, como descobrimos que , teremos que:
Isolando , vamos encontrar:
Passo 5
(d)Finalmente, supondo que ela oscila no terceiro harmônico, temos:
Como foi encontrado antes como sendo igual a , a gente tem que no terceiro harmônico acontece isso aqui:
Como , vem:
Agora finalmente podemos achar o período, de modo que:
