Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 56
Um corpo é projetado verticalmente, da superfície da Terra, com uma rapidez menor do que a rapidez de escape. Mostre que a altura máxima atingida pelo corpo é , onde é a altura que seria alcançada se o campo gravitacional fosse constante. Despreze a resistência do ar.
Passo 1
Fala! A gente quer saber a altura máxima de um corpo que é “jogado” para cima a partir da superfície da Terra.
No início o corpo está na superfície da Terra e depois ele está no ponto onde sua altura é máxima.
Primeiro podemos usar a conservação de energia assumindo que o campo gravitacional é constante para determinar . Nesse caso, a energia potencial gravitacional é aquela antiga, que vale só para superfície da Terra
Onde é a distância do corpo até a superfície da Terra, é a gravidade da superfície da Terra e é a massa do corpo. Aqui na superfície da Terra.
E daí, podemos aplicar a conservação de energia de novo considerando que o campo não é constante e que a energia potencial gravitacional é nula para uma distância infinita, e com isso achar . Nesse caso, considerando a Terra uma esfera maciça, podemos usar
Onde é a massa da Terra, a massa do corpo em questão, a constante de gravitação universal e a distância entre o corpo e o centro da Terra.
Vamos ver como isso fica.
Passo 2
Determinando A equação da conservação de energia é
Considerando o zero da energia potencial na superfície da Terra, temos . Temos também que na altura máxima o corpo tem velocidade nula, logo
Daí ficamos com:
A energia cinética é dada por
E a energia potencial na altura (quando a gente considera o campo constante) é
Substituindo:
Isolando o
Passo 3
Agora precisamos encontrar o . Considerando o zero da energia potencial gravitacional no infinito:
E como porque o ponto final é o ponto de altura máxima, isso pode ser reduzido a:
A energia cinética é a mesma do item anterior. No momento inicial a distância do corpo até o centro da Terra é o próprio raio da Terra . Já no segundo momento, é o raio da Terra mais . Então as energias potenciais ficam
Agora substituindo os valores:
Podemos simplificar isso lembrando que . Vamos multiplicar os numeradores e denominadores do termo do meio por e os do termo da direita por .
Rearrumar para aparecer
Dividindo tudo por
Passo 4
Agora isolando o para substitui-lo na equação de :
Substituindo em
Agora é só isolar o !
Mostradíssmo!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)