Dados dois vetores não-nulos, A → e B → , mostre que se A → + B → = A → - B → , então A → ⊥ B → . (b) Dado o vetor A → = 4 i ^ - 3 j ^ , encontre um vetor no plano xy que seja perpendicular a A → e que tenha uma magnitude de 10. Este é o único vetor que satisfaz a estas condições? Explique.

Passo 1

Letra (a)

Olá, querido! Tá bem? Então, ele quer que a gente prove que se:

A → + B → = A → - B →

Vamos ter que A → e B → são perpendiculares entre si. E como a gente faz isso? Cara, para dois vetores serem perpendiculares entre si, a gente precisa que o produto escalar entre eles seja nulo, certinho?

Então, o que a gente pode fazer é sair dessa equação que ele deu usando algumas propriedades de vetores e produto escalar (que a gente acha na tabela 6-1), e chegar em

A → ⋅ B → = 0

Assim a gente mostra que os vetores são perpendiculares. Bora!

Passo 2

Para começar vamos pegar esses módulos e elevar ao quadrado, por causa da seguinte propriedade:

v → 2 = v → ∙ v →

Ou seja, o módulo de um vetor ao quadrado é o produto escalar dele com ele mesmo.

A partir dela a gente consegue reescrever esses módulos que ele deu.

Começando com A → + B → :

A → + B → 2 = A → + B → ∙ A → + B →

E aí a gente pode usar a regra distributiva da multiplicação aí (é bem parecida com a regrinha que a gente usa na distributiva de números):

A → + B → 2 = A → ⋅ A → + B → + B → ⋅ A → + B →

A → + B → 2 = A → ⋅ A → + A → ⋅ B → + B → ⋅ A → + ( B → ⋅ B → )

Aí usando de novo a propriedade que a gente viu no começo desse passo:

A → + B → 2 = A → 2 + A → ⋅ B → + B → ⋅ A → + B → 2  

E como para o produto escalar não faz diferença a ordem dos vetores, temos que A → ⋅ B → = B → ⋅ A → , assim:

A → - B → 2 = A → 2 + 2 A → ⋅ B → + B → 2

Passo 3

Agora com A → - B → . Vamos fazer a mesma coisa que fizemos no passo anterior:

A → - B → 2 = A → - B → ∙ A → - B →

Aplicando a distributiva no lado direito:

A → - B → 2 = A → ⋅ A → - B → - B → ⋅ A → - B →

A → + B → 2 = A → ⋅ A → - A → ⋅ B → - B → ⋅ A → + ( B → ⋅ B → )

A → + B → 2 = A → 2 - A → ⋅ B → - B → ⋅ A → + B → 2  

Arrumando:

A → - B → 2 = A → 2 - 2 A → ⋅ B → + B → 2

Passo 4

E do enunciado a gente tinha que

A → + B → = A → - B →

Vamos elevar os dois lados ao quadrado:

A → + B → 2 + A → - B → 2

E agora substituir a expressões que a gente montou:

A → 2 + 2 A → ⋅ B → + B → 2 = A → 2 - 2 A → ⋅ B → + B → 2

Cortando A → 2 e o B → 2 :

2 A → ⋅ B → = - 2 A → ⋅ B →

4 A → ⋅ B → = 0 ⇒ A → ∙ B → = 0

Mas a gente sabe que A → ∙ B → = 0 somente se os vetores A → e B → são perpendiculares. Uhul! Conseguimos!

Passo 5

Letra (b)

Pra isso acontecer, a gente tem que satisfazer duas condições: o produto escalar A → ∙ B → tem que dar zero (para que esses vetores sejam perpendiculares) e o módulo do vetor B → tem que ser 10.

Vamos dizer que B → é dado por

B → = B x , B y

Para o módulo dele ser 10 , precisamos que:

B → = B x 2 + B y 2 = 10

B x 2 + B y 2 = 100                 E q .   1

Agora vamos olhar a outra condição. Como

A → = 4 i ^ - 3 j ^

Que pode ser reescrito como A → = 4 , - 3 . Aì podemos escrever

A → ⋅ B → = 0

4 , - 3 ⋅ B x , B y = 0

4 B x - 3 B y = 0           E q .   2

Temos então um sisteminha formado por E q . 1 e E q . 2 . Bora resolver e achar as componentes de B → .

Passo 6

Na equação 1, vamos isolar o B y :

4 B x = 3 B y

B y = 4 3 B x             E q .   3

Agora a gente joga isso em Eq. 2:

B x 2 + 4 3 B x 2 = 100

B x 2 + 16 9 B x 2 = 100

25 9 B x 2 = 100

B x 2 = 36

B x = ± 6

Note que temos dois valores pra B x .

Passo 7

Se a gente escolher B x = 6 , a gente vai achar B y = 8 , e se a gente escolher B x = - 6 , a gente vai achar B y = - 8 . As duas possibilidades estão corretas. Então:

B → = 6 i ^ + 8 j ^

ou

B → = - 6 i ^ - 8 j ^

Daí a gente vê que temos dois possíveis vetores perpendiculares a A → .

Resposta

Letra (a): ver solução

Letra (b): B → = 6 i ^ + 8 j ^ ou B → = - 6 i ^ - 8 j ^ . Há duas possibilidades que satisfazem as condições dadas.

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