Dados dois vetores não-nulos, e , mostre que se , então . (b) Dado o vetor , encontre um vetor no plano xy que seja perpendicular a e que tenha uma magnitude de 10. Este é o único vetor que satisfaz a estas condições? Explique.

Para começar vamos pegar esses módulos e elevar ao quadrado, por causa da seguinte propriedade:

Ou seja, o módulo de um vetor ao quadrado é o produto escalar dele com ele mesmo.

A partir dela a gente consegue reescrever esses módulos que ele deu.

Começando com :

E aí a gente pode usar a regra distributiva da multiplicação aí (é bem parecida com a regrinha que a gente usa na distributiva de números):

Aí usando de novo a propriedade que a gente viu no começo desse passo:

E como para o produto escalar não faz diferença a ordem dos vetores, temos que , assim:

Agora com . Vamos fazer a mesma coisa que fizemos no passo anterior:

Aplicando a distributiva no lado direito:

Arrumando:

E do enunciado a gente tinha que

Vamos elevar os dois lados ao quadrado:

E agora substituir a expressões que a gente montou:

Cortando e o :

Mas a gente sabe que somente se os vetores e são perpendiculares. Uhul! Conseguimos!

Letra (b)

Pra isso acontecer, a gente tem que satisfazer duas condições: o produto escalar tem que dar zero (para que esses vetores sejam perpendiculares) e o módulo do vetor tem que ser 10.

Vamos dizer que é dado por

Para o módulo dele ser , precisamos que:

Agora vamos olhar a outra condição. Como

Que pode ser reescrito como . Aì podemos escrever

Temos então um sisteminha formado por e . Bora resolver e achar as componentes de .

Na equação 1, vamos isolar o :

Agora a gente joga isso em Eq. 2:

Note que temos dois valores pra .

Se a gente escolher , a gente vai achar , e se a gente escolher , a gente vai achar . As duas possibilidades estão corretas. Então:

ou

Daí a gente vê que temos dois possíveis vetores perpendiculares a .