Demonstre que a curvatura de uma esfera pode ser expressa em termos da área de um círculo de raio , por
Passo 1
Pela relação 6.140, podemos escrever que
Além disso, a área da calota dada na Figura 6.18 pode ser escrita como:
Logo,
Passo 2
Vamos lembrar da expansão em série de potência do cosseno:
Para , podemos aproximar:
pois os demais termos são desprezíveis! Sendo assim, temos que
Passo 3
Lembrando que (relação 6.143), segue que
Porém, vimos que tal relação é válida no limite de , ou seja, . Assim, exatamente, temos:
Resposta
Ver demonstração.