Enunciado

Demonstre que a curvatura K de uma esfera pode ser expressa em termos da área A de um círculo de raio r , por

K = 12 π lim r → 0 ⁡ π r 2 - A r 4

Passo 1

Pela relação 6.140, podemos escrever que

r = θ R

Além disso, a área da calota dada na Figura 6.18 pode ser escrita como:

A = 2 π R 2 1 - cos ⁡ θ

Logo,

A r 2   = 2 π 1 - cos ⁡ θ θ 2

Passo 2

Vamos lembrar da expansão em série de potência do cosseno:

cos ⁡ θ = 1 - θ 2 2 ! + θ 4 4 ! - …

Para θ ≪ 1 , podemos aproximar:

cos ⁡ θ = 1 - θ 2 2 ! + θ 4 4 !

pois os demais termos são desprezíveis! Sendo assim, temos que

A r 2 = 2 π θ 2 2 ! - θ 4 4 ! θ 2 = 2 π 1 2 - θ 2 24 A π r 2 = 1 - θ 2 12 ⟹ θ 2 = 12 1 - A π r 2 θ 2 = 12 π π r 2 - A π r 2

Passo 3

Lembrando que K = 1 / R 2 (relação 6.143), segue que

r = θ R r 2 = θ 2 R 2 K = θ 2 r 2 = 12 π π r 2 - A π r 4

Porém, vimos que tal relação é válida no limite de θ ≪ 1 , ou seja, r → 0 . Assim, exatamente, temos:

K = 12 π lim r → 0 ⁡ π r 2 - A π r 4

Resposta

Ver demonstração.

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