Enunciado

31. Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é a ) igual a sua energia de repouso? b ) cinco vezes maior do que o valor de sua energia de repouso?

Passo 1

O enunciado quer a velocidade em duas situações diferentes, uma é quando a energia cinética é iguala a energia de repouso, então:

m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2 = m c 2

A outra situação é quando a energia cinética é igual a cinco vezes a energia de repouso, então:

m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2 = 5 m c 2

Passo 2

Vamos então achar a velocidade para o caso do item ( a ) , temos:

m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2 = m c 2

⇒ m c 2 1 - v 2 / c 2 = 2 m c 2

⇒ 1 1 - v 2 / c 2 = 2

Mexendo mais um pouco, temos:

1 - v 2 c 2 = 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

1 - v 2 c 2 = 1 4

⇒ v 2 c 2 = 1 - 1 4

⇒ v 2 c 2 = 3 4

Então isolando v , temos:

v = 0,866 c

Passo 3

Vamos então agora achar a velocidade para o caso do item ( b ) , temos:

m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2 = 5 m c 2

⇒ m c 2 1 - v 2 / c 2 = 6 m c 2

⇒ 1 1 - v 2 / c 2 = 6

Mexendo mais um pouco, temos:

1 - v 2 c 2 = 1 6

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

1 - v 2 c 2 = 1 36

⇒ v 2 c 2 = 1 - 1 36

⇒ v 2 c 2 = 35 36

Então isolando v , temos:

v = 0 , 9 86 c

Resposta

( a )

v = 0,866 c

( b )

v = 0,986 c

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