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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 16

Uma partícula de massa de repouso m 0 e velocidade v colide com outra partícula idêntica, mas que está em repouso. Após a colisão as duas partículas caminham juntas, formando uma partícula composta. Calcule para essa partícula composta: (a) sua massa de repouso M 0 ; (b) sua velocidade V . Exprima os resultados em função do parâmetro

α ≡ 1 1 - v / c 2

Passo 1

Veja o esquema abaixo que representa a situação descrita no enunciado.

Nesse tipo de problema, devemos conservar duas grandezas:

  1. A energia;
  2. O momento linear.

Passo 2

Vamos começar conservando a energia.

  • No início, temos E i = α m 0 c 2 + m 0 c 2 .
  • No final, temos E f = γ M 0 c 2

    • onde γ = 1 / 1 - V 2 / c 2 . Assim, temos

    α m 0 c 2 + m 0 c 2 = γ M 0 c 2 m 0 α + 1 = M 0 γ

    Passo 3

    Vamos conservar o momento.

  • No início, temos p i = m 0 α v .
  • No final, temos p f = M 0 γ V .

Logo,

p i = p f m 0 α v = M 0 γ V m 0 α v = m 0 α + 1 V V = α α + 1 v

De maneira que,

M 0 = m 0 α + 1 γ

Notemos que:

1 γ = 1 - V 2 c 2 = 1 - α α + 1 2 v 2 c 2

Porém,

α = 1 1 - v 2 c 2 ⟹ α 2 1 - v 2 c 2 = 1 α 2 - α 2 v 2 c 2 = 1 ⟹ v 2 α 2 c 2 = α 2 - 1 v 2 = c 2 α 2 - 1 α 2

Dessa forma, segue que

1 γ = 1 - α 2 α + 1 2 ⋅ α 2 - 1 α 2 = 1 - α - 1 1 + α 1 + α 2 1 γ = 1 - α - 1 1 + α = 2 1 + α

Portanto,

M 0 = m 0 α + 1 2 1 + α M 0 = m 0 2 1 + α

Resposta

Temos V = α α + 1 v e M 0 = m 0 2 1 + α

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