Denomina-se coroa anular um disco fino de raio externo R 2 com um buraco circular concêntrico de raio interno R 1 (Figura 21.51 ). Uma coroa anular possui uma densidade superficial de carga σ sobre sua superfície. a Determine a carga total sobre a coroa anular. b A coroa anular está sobre o plano y z com seu centro na origem. Para um ponto arbitrário sobre o eixo O x (o eixo de simetria da coroa anular), determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E → . Considere todos os pontos acima e abaixo do plano da coroa anular da Figura 21.51 . c Mostre que, para os pontos sobre o eixo O x suficientemente próximos da origem, o módulo do campo elétrico é aproximadamente proporcional à distância entre o centro da coroa e o ponto considerado. Qual é a distância que pode ser considerada “suficientemente próxima”? d Uma partícula puntiforme com massa m e carga - q pode se mover livremente sobre o eixo O x (mas não pode sair desse eixo). A partícula é inicialmente colocada sobre o ponto x = 0,01 R 1 e, a seguir, liberada. Determine a frequência das oscilações da partícula. (Sugestão: faça uma revisão da seção 13.2 . A coroa anular permanece em repouso.)

Passo 1

Como foi obtido, o campo elétrico neste exercício é dado por:

E → x = - σ 2 ϵ 0 1 R 1 2 / x 2 + 1 - 1 R 2 2 / x 2 + 1 x x i ^

Para resolver este caso, consideramos o campo de um disco uniformemente carregado:

E → x = σ 2 ϵ 0 1 - 1 R 2 / x 2 + 1 i ^

E analisando o termo

1 R 2 / x 2 + 1

Pode-se manipular a forma como ele é escrito. Primeiro iguala-se o denominador do termo dentro da raiz quadrada:

1 R 2 + x 2 x ² = 1 ( 1 / x 2 ) R 2 + x 2 = x R 2 + x 2

Agora, dividindo ambos o numerador quanto o denominador por R 2 :

x R 2 + x 2 1 R 2 1 R 2 = x R   1 + x 2 R 2 - 1 / 2 = x R 1 + x R 2 - 1 / 2

Tal que, para os pontos muito próximos da origem, x ≪ R , então:

x R 1 + x R 2 - 1 / 2 = x R

Passo 2

Dito isso, o campo resultante pode ser reescrito substituindo os termos dependentes dos raios:

E → x = σ 2 ϵ 0 x R 1 - x R 2 x x i ^

Que, tirando o termo em comum:

E → x = σ 2 ϵ 0 1 R 1 - 1 R 2 x x x i ^

E → x = σ 2 ϵ 0 1 R 1 - 1 R 2 x i ^

O que torna o módulo do campo elétrico proporcional à distância x do centro da coroa até um certo ponto.

Passo 3

Com a ideia de um ponto suficientemente próximo da origem, temos:

x ≪ R

Ou seja, a distância “suficientemente próxima” é:

x R 2 ≪ 1

Resposta

x R 2 ≪ 1

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