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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 13.1 - Ex. 63

Derive a equação de Bernoulli da maneira com mais generalidade do que é feito no texto, ou seja, permita que o fluido mude de altitude durante seu movimento. Usando o teorema de trabalho-energia, mostre que quando mudanças na elevação são permitidas, a equação padrão que conhecemos se torna P 1 + ρ g h 1 + 1 2 ρ v 1 2 = P 2 + ρ g h 2 + 1 2 ρ v 2 2   .

Passo 1

Beleza galera, vamos com muita calma nessa hora, caminho traiçoeiro a frente!! Mas brincadeiras a parte, vamos ter noção do que temos que fazer. Considere um fluido que flui em um tubo que varia tanto na elevação quanto na área da seção transversal, conforme mostrado na representação da figura abaixo. Podemos aplicar o teorema da energia de trabalho a uma parcela de fluido que está inicialmente contida entre os pontos 1 e 2. Durante o tempo Δ t essa parcela se move ao longo do tubo para a região entre os pontos 1′ e 2′. Seja Δ V   o volume do ponto de passagem de fluido 1′ durante o tempo Δ t . O mesmo volume passa no ponto 2 durante o mesmo tempo. Além disso, seja Δ m   =   ρ   Δ V a massa do fluido com o volume Δ V . O efeito líquido na parcela durante o tempo   Δ t é que a massa   Δ m inicialmente na altura h 1 que se move com a velocidade v 1 é "transferida" para a altura h 2 com a velocidade v 2 . Segue o esquematico da coisa:

Passo 2

Primeiro, vamos expressar nosso clássico teorema do trabalho-energia:

W t o t a l = ∆ U +   ∆ K

A variação na energia potencial da parcela é dada por:

∆ U = ∆ m g h 2 - ∆ m g h 1

= ∆ m g h 2 - h

= ρ ∆ V g ( h 2 - h 1 )

E a variação na energia sinética da pacela é dada por:

U = 1 2 ∆ m v 2 2 - 1 2 ∆ m v 1 2

= 1 2 ∆ m ( v 2 2 - v 1 2 )

= 1 2 ρ ∆ V ( v 2 2 - v 1 2 )

Passo 3

Vamos agora expressar o trabalho feito pelo fluido atrás da parcela, em que ele avança com força de magnitude F 1 = P 1 A 1 , onde P 1 é a pressão no ponto 1.

W 1 = F 1 ∆ x 1 = P 1 A 1 ∆ x 1 = P 1 ∆ V  

Fazemos o mesmo para o ponto 2.

W 1 = - F 2 ∆ x 2 = - P 2 A 2 ∆ x 2 = - P 2 ∆ V  

Aqui o trabalho é negativo por que a força aplicada e o deslocamento do fluido estão em sentidos diferentes !

Portanto, o trabalho total da percela é igual a:

W t o t a l = P 1 ∆ V   - P 2 ∆ V   = ( P 1 - P 2 ) ∆ V

Passo 4

Quase lá galera! Agora vamos substituir o que a gente achou para a energia cinética e energia potencial na equação do passo 2.

W t o t a l = ( P 1 - P 2 ) ∆ V

P 1 - P 2 ∆ V =   ρ ∆ V g h 2 - h 1 +   1 2 ρ ∆ V ( v 2 2 - v 1 2 )

Simplificando, e dividindo os dois lados por Δ V :

P 1 - P 2 =   ρ g h 2 - h 1 +   1 2 ρ ( v 2 2 - v 1 2 )

Separando cada uma para cada lado, temos que:

P 1 + ρ g h 1 + 1 2 ρ v 1 2 = P 2 + ρ g h 2 + 1 2 ρ v 2 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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