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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 14.7 - Ex. 61

Um cano com diâmetro interno de 2,5   c m transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade 0,90   m / s com uma pessão de 170   k P a . Se o cano se estreita para 1,2   c m e sobe para o segundo piso, 7,6   m acima do ponto de entrada, qual é (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo piso.

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, como queremos encontrar a velocidade da água em determinado ponto de um cano, pra isso a gente pode usar duas equações, a primeira é sobre a continuidade dada como:

A 1 v 1 = A 2 v 2

E segunda é a famosa equação de Bernoulli:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2

Onde p é a pressão do fluido, v é a velocidade do fluido e y é a altura em relação a algum referencial.

Vamos aplicar essas duas equações pra resolver a questão.

Passo 2

Na letra (a), queremos a velocidade final do fluido. Como a questão os diâmetros do tubo no começo e no final, e também a primeira velocidade, vamos direto na equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Usando A = π r 2 pra calcular a área da seção reta do cano:

π r 1 2 v 1 = π r 2 2 v 2

Agora vamos achar os raios a partir dos diâmetros que o enunciado deu, (não podemos esqeucer de converter os centímetros pra metros), sendo assim:

D 1 2 2 v 1 = D 2 2 2 v 2

0,025 2 4 ( 0,90 ) = 0,012 2 4 v 2

v 2 = 0,025 2 0,90 0,012 2

v 2 = 3,90   m/s

Passo 3

Beleza, já usamos a primeira equação pra achar a velocidade, agora a letra (b) queremos achar a pressão da água no segundo piso. A equação agora vai ser:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2

E vamos ver o que já temos.

A pressão inicial é p 1 = 170 × 10 3   Pa e a final p 2 é o que queremos descobrir.

A velocidade inicial é v 1 = 0,90   m/s   e a final é a que acabamos de calcular v 2 = 3,90   m/s .

A altura inicial nós podemos chamar de zero e a final é y 2 = 7,6   m   .

E a densidade da água é 10 3   kg/ m 3 .

Beleza, agora substituindo:

170 × 10 3 + 1 2 10 3 0,90 2 + 10 3 9,8 0 = p 2   + 1 2 10 3 3,90 2 + ( 10 3 ) ( 9,8 ) ( 7,6 )

Logo:

170405 = p 2 + 82085

Isolando p 2 :

p 2 = 170405 - 82085 = 88320   P a

p 2 = 8,8 × 10 4   Pa

Pronto!

Resposta

(a) v 2 = 3,90   m/s

(b) p 2 = 8,8 × 10 4   Pa

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