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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 103

Determine a energia potencial gravitacional da barra fina do Exemplo 11-8 e de uma partícula pontual de massa m 0 que está no eixo x em x = x 0 , onde x 0 ≥ 1 2 L . (a) Mostre que a energia potencial associada a um elemento da barra de massa d m (mostrado na Figura 11-14) e uma partícula pontual de massa m 0 é dada por

d U = - G m 0 d m x 0 - x s - G M m 0 L x 0 - x s d x s

Onde U = 0 em x 0 = ∞ . (b) Integre seu resultado da Parte (a) sobre o comprimento da barra, para determinar a energia potencial total do sistema. Generalize sua função U x 0 para qualquer posição do eixo x na região x > L / 2 , substituindo x 0 por uma coordenada genérica de x , e escreva-a como U ( x ) . (c) Calcule a força sobre m 0 em um ponto genérico x usando F x = - d U / d x e compare seu resultado com m 0 g , onde g é o campo em x 0 calculado no Exemplo 11-8.

Passo 1

(a) Tem muito coisa feia, mas se você se ligar só no que ele pede, vai dar bom!!

A energia potencial gravitacional de uma massa m 0 e d m é o seguinte:

d U = - G m 0 d m x 0 - x s

Como temos uma barra, podemos fazer o seguinte:

d m = λ d x s , onde λ = M L

d U = - G m 0 λ d x s x 0 - x s → d U = - G m 0 M L ( x 0 - x s ) d x s

Passo 2

Nesse item é só seguir o que ele diz. Portanto, vamos integrar sobre todo o comprimento da barra.

U = ∫ - L 2 L 2 - G m 0 M L ( x 0 - x s ) d x s

Assim,

U = - G m 0 M L ⋅ ∫ - L 2 L 2 1 ( x 0 - x s ) d x s

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

U = - G m 0 M L ⋅ - l n ⁡ ( x 0 - x s ) | - L 2 L 2

U = - G m 0 M L ⋅ - ln ⁡ x 0 - L 2 + ln ⁡ x 0 - - L 2

Arrumando as coisas:

U = - G m 0 M L ⋅ ln ⁡ x 0 + L 2 x 0 - L 2

Passo 3

Por último, temos o seguinte:

F x = - d U d x

Sabemos que U é o seguinte:

  U = - G m 0 M L ⋅ ln ⁡ x 0 + L 2 x 0 - L 2 = - G m 0 M L ln ⁡ x 0 + L 2 - ln ⁡ x 0 - L 2

Derivando com relação a x :

d U d x = - G m 0 M L ⋅ 1 x 0 + L 2 - 1 x 0 - L 2 = G M m 0 L L ⋅ x 0 2 - L 2 4

Portanto,

F x = - d U d x = - G M m 0 x 0 2 - L 2 4

Resposta

b) U = - G m 0 M L ⋅ ln ⁡ x 0 + L 2 x 0 - L 2

c) F x = - G M m 0 x 0 2 - L 2 4

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