Determine o momento de inércia de uma esfera maciça e uniforme de massa M e raio R em relação a um eixo tangente à sua superfície.

Passo 1

Falaaaa, querido! Tá bem?

Então, ele quer o momento de inércia de uma esfera maciça em relação a um eixo tangente a sua superfície. Algo assim:

Mas se você olhar lá no livro ele só tem fórmula para o momento de inércia de uma esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, ou seja, em relação a um eixo que passa pelo seu centro. Ela é essa aqui

I C M = 2 5 M R 2

Então o que a gente faz? Desiste? Não! Vamos conseguir juntos. Bora!

Passo 2

Aqui vai ser muito útil usarmos o teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner). Por que? Porque já conhecemos o momento de inércia da esfera com relação ao seu centro de massa. O teorema tem essa cara:

I = I C M + M h 2

Ou seja, ele relaciona o momento de inércia em um eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro massa ao momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo CM, a massa da esfera M e h , que é a distância entre esses dois eixos.

Aí esse I para gente vai ser o momento de inércia em relação ao eixo que é tangente a esfera. Podemos substituir a nossa expressão para I C M no teorema:

I = I C M + M h 2

I = 2 5 M R 2 + M h 2

Poxa, mas quem é h ? Cara, h é a distância entre os dois eixos, o que é tangente a esfera e o que passa pelo centro da esfera. Repara pela nossa figura que essa distância h vai ser exatamente o raio da esfera! Que é a distância entre o centro dela e a borda. Entao

I = 2 5 M R 2 + M h 2

I = 2 5 M R 2 + M R 2

I = 7 5 M R 2

Resposta

I = 7 5 M R 2

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