Uma esfera consiste de uma bola maciça de madeira com densidade uniforme de 800   k g / m 3 e raio de 0,20 m e está coberta por um fino papel laminado com densidade de área de 20   k g / m 2 . Calcule o momento de inércia dessa esfera em relação a um eixo que passa pelo seu centro.

Passo 1

Consideraremos o momento de inercia do sistema madeira+lâmina, assim:

I = I m a d e i r a + I l â m i n a  

A massa é calculada por:

m = ρ ⋅ V

onde ρ é a densidade do volume.

E também por:

m = σ A

onde σ é a densidade da área.

Para uma esfera sólida, ou seja, na esfera de madeira, temos que:

I m a d e i r a = 2 5 m R 2

Para a esfera oca, ou seja, a lâmina:

I l â m i n a = 2 3 m R 2

Sabemos sobre a esfera que: A = 4 π R 2   V = 4 3 π R 3

Passo 2

Portanto, definindo para a madeira, temos que:

m m a d e i r a = ρ m a d e i r a V m a d e i r a = ρ m a d e i r a ⋅ 4 3 π R 3  

E definindo para a lâmina:

m l â m i n a = σ l â m i n a A l â m i n a = σ l â m i n a ⋅ 4 π R 2

Passo 3

E então, vamos fazer uma construção a partir de:

I = I m a d e i r a + I l â m i n a

Sabemos que: I m a d e i r a = 2 5 m R 2 I l â m i n a = 2 3 m R 2 , então:

I = 2 5 m R 2 + 2 3 m R 2

E descobrimos a massa de cada um desses: m m a d e i r a = ρ m a d e i r a ⋅ 4 3 π R 3 m l â m i n a = σ l â m i n a ⋅ 4 π R 2

Dessa forma, ficamos com:

I = 2 5 ρ m a d e i r a ⋅ 4 3 π R 3 R 2 + 2 3 σ l â m i n a ⋅ 4 π R 2 R 2

Isso nos dá que:

I = 8 3 π R 4 ρ m a d e i r a R 5 + σ l â m i n a

Passo 4

Agora, basta substituirmos os valores.

Temos que: R =   0,20   m ρ m a d e i r a = 800   k g / m 3 σ l â m i n a = 20   k g / m 2

Então:

I = 8 3 π ( 0,20 m ) 4 800   k g / m 3 ⋅ 0,20 m 5 + 20   k g / m 2 = 0,70 k g ⋅ m 2

Resposta

I = 0,70 k g ⋅ m 2

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