Determine a tensão T em cada cabo e o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a viga pelo pivô em cada um dos arranjos indicados na Figura 11.26. Em cada caso, seja p o peso da caixa suspensa que está cheia de objetos de arte. A viga de suporte é uniforme e também possui peso p . Comece cada caso com um diagrama do corpo livre para a viga.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos determinar a tensão T em cada cabo e o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a viga pelo pivô em cada um dos arranjos indicados nas figuras abaixo:

Para isso, temos os seguintes dados:

  • Seja p o peso da caixa suspensa que está cheia de objetos de arte;
  • A viga de suporte é uniforme e também possui peso p .

Dessa forma, devemos fazer o diagrama de corpo livre para cada sistema!! 😉

Passo 2

  1. Bom... vamos esboçar o diagrama de corpo livre para o suporte:

Vamos tomar a origem das coordenadas na dobradiça (ponto A ) e + y para cima.

Seja F h e F v os componentes horizontais e verticais da força F →   exercido no suporte pelo pivô.

A tensão no cabo vertical é o peso w do objeto suspenso.

O peso P do suporte pode ser utilizado para atuar no centro do suporte.

E seja L o comprimento do suporte.

Passo 3

Então, aplicando a segunda lei de Newton na vertical, temos que:

∑ F y = m a y = 0

⇒ F v - P - P = 0

F v = 2 P

Passo 4

Fazendo a soma dos torques sobre o ponto A , temos que a força do pivô tem um braço de momento z e r o   para este eixo e, portanto, não entra no torque da equação, assim:

∑ τ = 0

E dessa forma, temos que:

T L sen ⁡ 30 ° - P L 2 cos ⁡ 30 ° - P ⋅ L cos ⁡ 30 ° = 0

Simplificando:

T sen ⁡ 30 ° - 3 P 2 cos ⁡ 30 ° = 0

Isso implica que:

T = 3 P cos ⁡ 30 ° 2 sen ⁡ 30 ° = 2,60 P

Passo 5

E então, aplicamos a segunda lei de Newton na horizontal:

∑ F x = m a x

Isso implica que:

T - F h = 0

Daí, sabemos que:

T = F h = 2,60 P

Passo 6

Agora que temos as componentes de F → , podemos calcular a sua magnitude e direção, da seguinte maneira:

F = F h 2 + F v 2

Isso implica que:

F = ( 2,60 P ) 2 + ( 2 P ) 2 = 3,28 P

E a direção é dada por:

θ = tan - 1 ⁡ F v F h = tan - 1 ⁡ 2 P 2,60 P = 37,6 °

Passo 7

Caso (b): Partindo para o próximo diagrama, temos:

Observe que a tensão T foi substituída por seus componentes x e   y . O torque devido a T é igual à soma dos torques de sua componentes, assim:

∑ τ = 0

0 + ( T cos ⁡ 30 ° ) ( L sen ⁡ 45 ° ) - ( T sen ⁡ 30 ° ) ( L cos ⁡ 45 ° ) - P ( L 2 cos ⁡ 45 ° ) - P ( L cos ⁡ 45 ° ) = 0

O comprimento L se divide da equação. A equação também pode ser simplificada, observando que:

sen ⁡ 45 ° = cos ⁡ 45 °

Então:

T ( cos ⁡ 30 ° - sen ⁡ 30 ° ) = 3 P 2

Isso implica que:

T = 3 P 2 ( cos ⁡ 30 ° - sen ⁡ 30 ° ) = 4,10 P

Passo 8

E então, aplicamos a segunda lei de Newton na horizontal:

∑ F x = m a x = 0

Isso implica que:

F h - T cos ⁡ 30 ° = 0

Daí sabemos que:

F h = T cos ⁡ 30 ° = 4,10 P ⋅ cos ⁡ 30 ° = 3,55 P

Passo 9

E então, aplicando a segunda lei de Newton na vertical, temos que:

∑ F y = m a y

F v - P - P - T sen ⁡ 30 ° = 0

F v = 2 P + 4,10 P ⋅ sen ⁡ 30 ° = 4,05 P

Passo 10

Agora que temos as componentes de F → , podemos calcular a sua magnitude e direção, da seguinte maneira:

F = F h 2 + F v 2

Isso implica que:

F = ( 3,55 P ) 2 + ( 4,05 P ) 2 = 2,75 P

E a direção é dada por:

θ = tan - 1 ⁡ F v F h = tan - 1 ⁡ 4,05 P 3,55 P = 48,8 °

Passo 11

Em cada caso, a força exercida pelo pivô não atua ao longo do suporte. Considere o torque total sobre a extremidade superior do suporte.

Se a força de pivô agisse ao longo do suporte, teria zero torque sobre esse ponto.

As duas forças que atuam nesse ponto também têm torque zero e haveria um torque diferente de zero, devido ao peso do suporte.

O torque total sobre esse ponto não seria então zero, violando a segunda condição de equilíbrio.

Resposta

Caso (a):

T = 2,60 P

F = 3,28 P

θ = 37,6 °

Caso (b):

T = 4,10 P

F = 2,75 P

θ = 48,8 °

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