Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 16.5 - Ex. 32

Que diferença de fase entre duas ondas iguais, a não ser pela constante de fase, que se propagam no mesmo sentido em corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude vez a amplitude comum das duas ondas? Expresse a resposta (a) em graus, (b) em radianos e (c) em comprimentos de onda.

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza?

Esse exercício aqui quer que a gente encontre qual a diferença de fase entre duas ondas iguais que se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada, produz uma onda resultante vezes a amplitude das duas ondas.

Então calma ai meu patrão, vamos entender melhor essa brincadeira.

Queremos saber a diferença de fase da onda resultante entre essas outras duas ondas, ok?

A malandragem pra gente resolver essa questão é lembrar do princípio da superposição.

Basicamente é o seguinte: se você tem duas ondas no mesmo meio, a função da onda resultante é simplesmente a soma das duas ondas originais:

Onde é a onda resultante, enquanto que e são as ondas que geram . Então dado a função geral:

Como o enunciado nos disse que a única diferença entre as ondas é a constante de fase , teremos que será:

E vai ser:

Então belezoca, só pra gente recapitular, queremos encontrar qual a diferença de fase que produz uma onda de amplitude resultante , tal que:

Onde é a amplitude da onda resultante .

Já que o que importa é a diferença de fase, vamos colocar a constante de fase da primeira onda como zero, e a diferença entre as fases vai ser simplesmente:

De modo que:

Show de bola, conseguimos escrever as equações de onda para cada onda, então agora bora lá ver como fica a onda resultante.

Passo 2

Maravilha, então por enquanto nossa equação está assim:

Substituindo as funções de onda que encontramos, vamos obter que:

Belezoca, então a equação para essa soma na superposição de ondas, nos fornece que:

E essa é nossa função da onda resultante.

Passo 3

Agora a função ficou numa forma bem mais tranquila de lidar. Então com a função seno varia entre e , a amplitude da nossa função de onda resultante vai ocorrer em:

E como o nosso objetivo é ter:

Vamos ter que:

Então se a gente isolar a diferença de fase , vamos obter que:

E então:

Ou seja, é o arco cujo cosseno vale , e como na letra (a) queremos a resposta em graus, teremos que:

Portanto, na letra (a), a diferença de fase será escrita como:

Passo 4

Agora na letra (b) queremos encontrar a mesma diferença de fase só que escrita em radianos, e como já encontramos o valor em graus, podemos só transformar as unidades, de modo que: