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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 41

Um disco composto de diâmetro externo de 140,0   c m é constituído de um disco maciço uniforme com raio de 50,0   c m e densidade de área de 3,0   g / c m 2 , cercado por um anel concêntrico com raio interno de 50,0   c m , raio externo de   70,0   c m e densidade de área de 2,0   g / c m 2 . Ache o momento de inércia desse objeto em relação a um eixo perpendicular ao plano do objeto e que passa pelo seu centro.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o momento de inércia do objeto em relação a um eixo perpendicular ao plano do objeto e que passa pelo seu centro.

Nós sabemos que o momento de inércia I de um corpo de massa m que está a uma distância r do eixo de rotação é dado por:

I = m r 2

Repara que o nosso objeto de estudo é composto por uma parte disco e outra do anel. Então, para resolver essa questão temos que lembrar que o momento de inércia, I , em relação à um eixo perpendicular ao plano de um disco composto e qua passa pelo seu centro, é dado pela soma do momento de inércia do disco sólido com o momento de inércia do anel.

I = I d i s c o + I a n e l

Para o disco sólido vamos ter:

I d i s c o = 1 2 m d i s c o r d i s c o 2

Sendo r d i s c o = 50   c m

E para o anel:

I a n e l = 1 2 m a n e l ( r 1 2 + r 2 2 )

Quando: r 1 = 50 c m r 2 = 70 c m

Vamos lá!

Passo 2

Vamos achar primeiro o momento de inércia do disco sólido.

Precisamos encontrar a massa, para isso vamos utilizar a informação sobre a densidade de área que é fornecida. Note que se a gente multiplicar a densidade de área pela a área do disco encontramos a massa:

m a s s a á r e a × á r e a = m a s s a

Então, a massa do disco é dada por:

m d i s c o = 3 g c m 2 ⋅ π r d i s c o 2

Onde r d i s c o é o raio do disco e 3   g / c m 2 é a nossa densidade de área. Assim, temos:

m d i s c o = 3 g c m 2   .   π 50 2

m d i s c o = 23561   g

m d i s c o = 23,5   k g

Sendo assim, seu momento de inercia será:

I d i s c o = 1 2 m d i s c o r d i s c o 2

I d i s c o = 1 2 23,5 0,5 2

I d i s c o = 2,945   k g m 2

Repara que passamos o raio de c m para m e t r o s .

Passo 3

Agora vamos para o momento de inércia do anel. Para achar a massa vamos usar a mesma lógica que usamos para o disco

m a n e l = 2 g c m 2 ⋅ π ( r 2 2 - r 1 2 )

m a n e l = 15,08 k g

Então, seu momento de inercia é:

I a n e l = 1 2 m a n e l r 1 2 + r 2 2

I a n e l = 5,5796   k g ⋅ m 2

Passo 4

Isso implica que o momento de inercia total é a soma dos dois momentos calculados, ou seja:

I = I d i s c o + I a n e l

Substituindo os valores, temos:

I = 2,945 + 5,5796

I = 8,525   k g ⋅ m 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

8,525   k g ⋅ m 2

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