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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 9.4 - Ex. 48

Suponha que o cilindro maciço do dispositivo descrito no Exemplo 9.9 (Seção 9.4) seja substituído por uma casca cilíndrica com o mesmo raio   R e com a mesma massa M . O cilindro é ligado ao eixo por meio de raios com momentos de inércia desprezíveis.

a) Calcule a velocidade da massa m suspensa no instante em que ela atinge o solo.

b) Use os conceitos de energia para explicar por que a resposta ao item (a) é diferente da velocidade escalar obtida no Exemplo 9.9.

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos uma casca cilíndrica com raio R e massa M que é ligada ao eixo por meio de raios com momentos de inércia desprezíveis.

A partir daí temos que calcular a velocidade da massa m suspensa no instante em que ela atinge o solo.

Tem ideia de como fazemos isso?

Veja só!

Passo 2

  1. Considerando o exemplo mencionado, com o momento de inércia I = M R 2 a velocidade v vai ser:

    2. - U + K 1 + 1 2 I ω 2 = 0

    Substituindo as equações...

    - m g h + 1 2 m v 2 + 1 2 M R 2 v R 2 = 0

    - m g h + 1 2 m v 2 + 1 2 M v 2 = 0

    Vamos isolar v em um lado da igualdade

    - m g h + 1 2 v 2 m + M = 0

    1 2 v 2 m + M = m g h

    1 2 v 2 = m g h m + M

    v 2 = 2 g h 1 + M m

    v = 2 g h 1 + M m

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  2. Essa expressão é menor que a do cilindro sólido! Uma maior quantidade da massa do cilindro está concentrada em sua borda, portanto, para uma determinada velocidade, a energia cinética do cilindro é maior. Uma fração maior da energia potencial é convertida em energia cinética do cilindro e, portanto, temos um valor menor disponível para a massa em queda.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

a ) v = 2 h g 1 + M / m

b ) E s s a   e x p r e s s ã o   é   m e n o r   q u e   a   d o   c i l i n d r o   s ó l i d o !

  U m a   m a i o r   q u a n t i d a d e   d a   m a s s a   d o   c i l i n d r o   e s t á   c o n c e n t r a d a   e m   s u a   b o r d a ,   p o r t a n t o ,

  p a r a   u m a   d e t e r m i n a d a   v e l o c i d a d e ,   a   e n e r g i a   c i n é t i c a   d o   c i l i n d r o   é   m a i o r .

  U m a   f r a ç ã o   m a i o r   d a   e n e r g i a   p o t e n c i a l   é   c o n v e r t i d a   e m   e n e r g i a   c i n é t i c a   d o   c i l i n d r o  

e ,   p o r t a n t o ,   t e m o s   u m   v a l o r   m e n o r   d i s p o n í v e l   p a r a   a   m a s s a   e m   q u e d a .  

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