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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.11 - Ex. 59

Um disco uniforme de massa 10 m e raio 3,0 r pode girar livremente como um carrossel em torno do centro fixo. Um disco homogêneo menor de massa m e raio r está sobre o disco maior, concêntrico com ele. Inicialmente, os dois discos giram juntos com uma velocidade angular de 20   r a d / s . Em seguida, uma pequena perturbação faz com que o disco menor deslize para fora em relação ao disco maior até que sua borda fique presa na borda do disco maior. Depois disso, os dois discos passam novamente a girar juntos (sem que haja novos deslizamentos). (a) Qual é a velocidade angular final do sistema em relação ao centro do disco maior? (b) Qual é a razão K / K 0 entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial?

Passo 1

Belezera galerinha, primeiro vamos calculcar o momento de inércia do sistema antes de ocorrer o deslizamento. Para tanto, devemos lembrar que o momento de inércia de um disco que gira em torno de seu eixo de centro de masssa é dado por:

I = 1 2 M R 2

Assim, o momento de inércia antes do deslizamento será do momento de inércia I 1 do disco 1 e I 2 do disco 2 :

I d = I 1 + I 2

Logo:

I d = 1 2 m 1 r 1 2 + 1 2 m r 2

Como temos que m 1 = 10 m e r 1 = 3 r , então:

I d = 1 2 10 m 9 r 2 + 1 2 m r 2

I s = 91 2 m r 2

Passo 2

Para o momento em que a borda do disco menor coincide com a borda do disco maior, o momento de inércia total, novamente será igual a soma dos momentos de inércia:

I d ' = I 1 + I 2

Só que dessa vez, o centro de do disco 2 (disco menor) não coincide mais com o centro do disco 1 (disco maior), de forma que devemos usar o teorema dos eixos paralelos para determinar no momento de inércia do disco 2 . Para tanto, devemos perceber que o eixo que passa pelo centro de massa do disco 2 , está distante do eixo de rotação do sistema por uma distância d dada como:

d = r 1 - r

Assim, através do teorema do dos eixo paralelos, vemos que:

I 2 = I c m + m d 2

Onde I c m é o momento de inércia em relação ao centro de massa, no qual já vimos que I c m = 1 2 m r 2 , de maneira que:

I 2 = 1 2 m r 2 + m R - r 2

I 2 = 1 2 m r 2 + m R 2 + m r 2 - 2 m R r

I 2 = 3 2 m r 2 + m R 2 - 2 m R r

E portanto, o momento de inércia do sistema será:

I d ' = 1 2 ( 10 m ) ( 9 r 2 ) + 3 2 m r 2 + m ( 9 r 2 ) - 2 m 3 r 2

I d ' = 90 m r 2 2 + 3 m r 2 2 + 9 m r 2 - 6 m r 2

I d ' = 99 2 m r 2

Passo 3

Aplicando agora a lei da conservação do momento angular:

L f = L 0

I s ' ω ' = I s ω

Isolando ω ' e substituindo os valores:

ω ' = 91 2 m r 2 99 2 m r 2 20

ω ' = 91 99 20

ω ' = 18,4   rad/s

Passo 4

Agora calculando a relação entre a nova energia cinética e a inicial, obtemos:

K K 0 = 1 2 I s ' ω ' 2 1 2 I s ω 2

Substituindo os valores:

K K 0 = 99 2 18,4 2 91 2 20 2

K K 0 = 0,92

Resposta

  1. ω ' = 18,4   r a d / s ;
  2. K K 0 = 0,92 .
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