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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 63

Um disco horizontal uniforme, de massa M e raio   R , gira em torno do eixo vertical que passa pelo seu centro de massa com uma rapidez angular ω . Quando o disco, girando, é largado sobre uma mesa horizontal, forças de atrito cinético sobre o disco se opõem ao seu movimento de rotação. Seja μ c o coeficiente de atrito cinético entre o disco e a mesa. (a) Determine o torque d τ exercido pela força de atrito sobre um elemento circular de raio   r e largura d r . (b) Determine o torque total total exercido pelo atrito sobre o disco. (c) Determine o tempo que o disco leva para parar de girar.

Passo 1

  1. A força de atrito vai exercer torque no disco, fazendo com que ele rode. Esse torque pode ser calculado como:

    2. d τ a t = r d F a t

    Mas F a t = μ k N = μ k m g , então:

    d F a t = μ k g d m → d τ a t = r μ k g d m

    A massa do disco é:

    m = σ π r 2

    d m = 2 σ π r d r →   d τ a t = r μ k g 2 σ π r d r = 2 π μ k σ g r 2 d r

    Mas σ é igual à massa por unidade de área, então σ = M π R 2 .

    d τ a t = 2 π μ k M π R 2 g r 2 d r

    d τ a t = 2 μ k M g R 2 r 2 d r

    Passo 2

  2. Integrando a expressão do d τ a t de 0 a R vamos encontrar o trabalho total.

∫ d τ a t = 2 μ k M g R 2 ∫ 0 R r 2 d r

τ a t = 2 μ k M g R 2 × R 3 3

τ a t = 2 μ k M g R 3

Passo 2

c) Falta só a gente encontrar o tempo:

ω = α Δ t

τ = I α

Dividindo as duas para sumir a aceleração:

ω τ = Δ t I → Δ t = ω I τ

O momento de inércia para o disco é:

I = 1 2 M R 2

Substituindo o que já temos:

Δ t = ω 1 2 M R 2   2 μ k M g R 3 = 3 R ω 4 μ k g

Resposta

a) d τ a t = 2 μ k M g R 2 r 2 d r

b) τ a t = 2 μ k M g R 3

c)

Δ t = 3 R ω 4 μ k g

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