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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 23.1 - Ex. 54

Um disco de raio R tem uma distribuição superficial de cargas dada por σ = σ 0 R / r , onde σ 0 é uma constante e r é a distância ao centro do disco. (a) Determine a carga total no disco. (b) Determine uma expressão para o potencial elétrico a uma distância x do centro do disco no eixo que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao seu plano.

Passo 1

Essa questão é muito semelhante a questão anterior: de fato, apenas a expressão da densidade superficial de cargas é alterada. Sendo assim, vamos aplicar exatamente a mesma ideia daquela questão.

Passo 2

  1. Temos que

    2. q = ∫ σ   d V q = ∫ 0 R σ 0 R r ⋅ 2 π r   d r q = 2 π σ 0 R   ∫ 0 R d r q = 2 π σ 0 R 2

    Passo 3

  2. Vamos tomar uma fina camada de raio r e espessura d r . Como q = 2 π σ R r , segue que d q = 2 π σ 0 R   d r , de modo que

d V = k d q x 2 + r 2 = k ⋅ 2 π σ 0 R   d r x 2 + r 2 V = 2 π k σ R   ∫ 0 R d r x 2 + r 2

Usando uma tabela de integrais, temos que

V = 2 π k σ R ln ⁡ R + x 2 + R 2 x

Resposta

2 π k σ R ln ⁡ R + x 2 + R 2 x .

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